成才之路·北师大版数学必须修读1—2-4-2.pptVIP

在实际生活中，有很多最优化问题可以通过建立二次函数模型，并借助二次函数的图像和性质加以解决，其解题的关键是列出二次函数解析式，转化为求二次函数的最值问题．例如： 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表所示： 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 二次函数(y＝ax2＋bx＋c)的性质 学习研究二次函数的性质，必须熟练掌握二次函数的图像，结合图像研究性质. 2．二次函数y＝x2－8x＋c的顶点在x轴上，则c的值为(　　) A．－16 B．16 C．－4 D．4 [答案]　B 3．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为(　　) A．10件 B．15件 C．20件 D．30件 [答案]　B [解析]　由二次函数解析式y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋675可知，当x＝15时，y取最大值． 4．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最小值是________． [答案]　10　－2 [解析]　y＝3(x－1)2－2，该函数的图像如图所示． 从图像易知：f(x)max＝f(3)＝10，f(x)min＝f(1)＝－2. 5．已知f(x)＝ax2－2x－6，且f(－1)＝－6，则f(x)的递减区间是________． [规律总结]　“配方法”是研究二次函数的主要方法，对一个具体的二次函数，我们对它进行配方，就可以知道这个二次函数的主要性质． 求函数y＝5x2－4x－1的图像与x轴的交点坐标和对称轴，并判断它在哪个区间上是增加的，在哪个区间上是减少的． [规范解答]　∵f(x)＝3x2－6x＋1＝3(x－1)2－2， 由于x2项的系数为正数，∴函数图像开口向上． (1)顶点坐标为(1，－2)；对称轴方程为x＝1. (2)∵f(－1)＝10，又|－1－1|＝2，|3－1|＝2， ∴由二次函数的对称性可知， f(3)＝f(－1)＝10. (3)∵f(x)＝3(x－1)2－2的图像开口向上，且对称轴为x＝1， ∴离对称轴越近，函数值越小． 已知函数f(x)＝x2－3x－4. (1)求这个函数图像的顶点坐标； (2)已知f(－2)＝6，不直接计算函数值，求f(5)． 已知函数f(x)＝x2－4x－4. (1)若函数定义域为[3,4]，求函数值域． (2)若函数定义域为[－3,4]，求函数值域． (3)若函数在区间[a－1，a]上的y的取值范围是[1,8]，求a. [思路分析]　二次函数在闭区间上的最值问题应从三个方面入手：对称轴、端点值和开口方向． [规范解答]　(1)f(x)＝(x－2)2－8开口向上， 对称轴x＝2，∴当x∈[3,4]时，f(x)为增函数， 最小值f(3)＝－7，最大值f(4)＝－4. ∴值域为[－7，－4]． (2)f(x)＝(x－2)2－8在[－3,2]上是减函数， 在[2,4]上是增函数，∴最小值为f(2)＝－8. 又f(－3)＝17，f(4)＝－4， (也可以通过比较－3和4哪一个与对称轴x＝2的距离远则哪一个对应函数值较大，开口向下时同样可得出．) ∴f(x)的最大值为17，故值域为[－8,17]． [规律总结]　1.二次函数求最值问题，首先要采用配方法，化为y＝a(x－h)2＋k的形式，再根据对称轴与区间的位置关系，确定单调性，求出最值． 2．解题过程中，重在分析对称轴与区间的位置关系，即对称轴在区间左侧、中间、区间右侧三种情况讨论，当对称轴在中间时，有时还要分情况讨论即对称轴在正中，偏左，偏右讨论，要注意数形结合． 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数的最大值和最小值； (2)当a∈R时，求函数的最小值． [分析]　解答本题的关键是将函数f(x)配成顶点式确定其对称轴，然后根据对称轴与所给区间的关系进一步确定函数的最值． [解析]　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2 ＝(x－1)2＋1， ∵x∈[－5,5]， ∴x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1； x＝－5时，f(x)取最大值．f(x)max＝f(－5)＝37. (2)∵f(x)＝x2＋2ax＋2 ＝(x＋a)2＋2－a2， x∈[－5,5]， ①当－a≤－5即a≥5时， 函数f(x)在区间[－5,5]上是增加的， 故f(x)min＝f(－5)＝27－10a. ②当－5－a5，即－5a5时， 对称轴－a∈[－5,5]， 故f(x)min＝f(－a)＝2－a2. 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8