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第一充分条件: 第二充分条件: 1. 水平与铅直渐近线 2. 斜渐近线 二、函数图形的描绘 例1. 描绘 例2. 描绘函数 例4. 求曲线 曲线 作业 一、 弧微分 二、曲率及其计算公式 例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 曲率K 的计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 设曲线方程为 例2. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 内容小结 思考与练习 作业 * 在 内可导, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , 极值的必要条件: 若 是函数f(x)的极值,则 或 不存在. 极值的充分条件 (3) “不变号” , 则 不是极值 设函数 f(x)在 上连续, §3.5内容回顾 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 第三充分条件 则: 数 , 且 1) 当 为偶数时, 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 为奇数时, 为极值点 , 不是极值点 . 是拐点. 不是拐点. (拐点的第二充分条件): 当 在区间I 上连续且只有一个极值点时, 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大值点或最小值点 . (小) 闭区间上 连续函数的最值:… 一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘 §3.6 函数图形的描绘 第三章 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有铅直渐近线 一、 曲线的渐近线 斜渐近线 若 ( P75 题13) 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 作图 为 0 和不存在的点 ; 并考察其对称性及周期性 ; (2) 画出渐近线 (3)描点:首先是表中的特殊点 (4)结合单调性与凹凸性及渐近线分段连线作图 (必要时补充一些关键点) (1)画出坐标系(适当确定两轴的单位) 的图形. 解: 1) 定义域为 无对称性及周期性. 2) 3) (极大) (拐点） (极小) 4) 无渐近线, 补充点(-1,2/3)、(3,2) 5)描点作图 的图形. 解: 1) 定义域为 图形对称于 y 轴. 2) 3) (极大) (拐点) (极大) (拐点) 为水平渐近线 5) 作图 4) 求渐近线 例3.描绘函数 解 非奇非偶函数,且无对称性. 的图形. 3).列表 拐点 极值点 4) 求渐近线 补充点: (-2,-3) 5)作图： . D 的渐近线 . 解: 所以有铅直渐近线 及 又因 为曲线的斜渐近线 . (无水平渐近线) 水平渐近线 ;铅直渐近线; 内容小结 1. 曲线渐近线的求法 斜渐近线 按作图步骤进行 2. 函数图形的描绘 拐点为 , 凸区间是 , 的凹区间是 , 提示: 及 渐近线 . 单增区间 , 单减区间 . [0,+∞) (-∞,0] P76 14 (2); P169 2 ; 5 曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 §3.7 平面曲线的曲率 第三章 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 (增函数) 表示有向弧…的值 则弧长微分公式为 或 若曲线由参数方程表示: 又s=s(x)是增函数,则 若曲线由极坐标方程表示: 代入参数方程时的弧微分公式得, 请记住三个弧微分公式!!! 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应切线 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 二阶可导, 设曲线弧 则由 两边微分得: 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹