江苏省南京市四校2012年高三12月月考数学试题.docVIP

江苏省南京市四校 2012届高三12月月考试题 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式： 1．样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi． 2．球的表面积S＝4πR2，其中R为球的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知命题p：?x∈R，x2－x＋1＞0，则命题?p是 ． 2．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∪B＝ ． 3．设复数z1＝1－2i，z2＝x＋i(x∈R)，若z1·z2为实数，则x＝ ． 4．一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色，若随机投掷该四面体两次，则两次底面颜色相同的概率是 ． 5．有一组样本数据8，x，10，11，9，已知它们的平均数为10，则这组数据的方差s2＝ ． 6．在如图所示的流程图中，输出的结果是 ． 7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n－1，则a1＋a3＝ ． 8．已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率为 ． 9．将函数y＝sin(x＋)的图象上所有的点向左平移个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为y＝ ． 10．已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为 ． 11．如图，平面四边形ABCD中，若AC＝，BD＝2，则(＋)·(＋)＝ ． 12．若不等式4x－2x＋1－a≥0在x∈[－1，1]上恒成立，则实数a的取值范围为 ． 13．若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如142＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f(14)＝17．记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2011(8)＝ ． 14．已知f(x)＝x3，g(x)＝－x2＋x－a，若存在x0∈[－1，](a＞0)，使得f(x0)＜g(x0)，则实数a的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(sinA，1)，n＝(1，－cosA)，且m⊥n． （1）求角A； （2）若b＋c＝a，求sin(B＋)的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在四棱锥O—ABCD中，AD//BC，AB＝AD＝2BC，OB＝OD，M是OD的中点． （1）求证：MC//平面OAB； （2）求证：BD⊥OA． 17．（本小题满分14分） 某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元的科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计产量每年递增10万只，投入n次后，每只产品的固定成本为g(n)＝（k为常数，n∈Z且n≥0）．若产品销售价保持不变，第n次投入后的年纯利润为f(n)万元（年纯利润＝年收入－年固定成本－年科技成本）． （1）求k的值，并求出f(n)的表达式； （2）问从今年起，第几年纯利润最高？最高纯利润为多少万元？ 18．（本小题满分16分） 如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x＝4，右焦点F到它的距离为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程． 19．（本小题满分16分） 记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋． （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn； （2）记bn＝an－，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n1＝1，n2＝3，求nk（用k表示）； （3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由． 20．