江苏省兴化市安丰高级中学2014年高三12月月考数学试题含解析.docVIP

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.设集合，,,则 ． 2.复数 　 ． 3.函数的零点个数为　　　　　　． 4.为平行四边形的一条对角线，　　　． 【答案】 5.设　　　　　． 6． 已知，，则　　　　． 7.设等比数列的公比为，前项和为．则 “”是“”　　　的条件． 8. 数列是公差不为0的等差数列，且，则　　　　． 9.在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，，且，若，则+的值是　　　　　　． 10. 在中，若，则　　　　． 11. 若向量，满足，，且，的夹角为，则　　　　． 【答案】 【解析】 12.已知不等式组表示的平面区域的面积为，若点，则 的最大值为　　　　　. 考点：简单的线性规划. 13.设是周期为2的奇函数，当时，=，则= 　　 ． 【答案】 【解析】 试题分析：由是周期为2的奇函数可知，. 考点：函数的周期性与奇偶性. 14.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个 “类”，记为，即，．给出如下四个结论：①　；②　；③　；④　整数属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论的个数为3． 二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 已知命题：“，使等式成立”是真命题． （1）求实数m的取值集合M； （2）设不等式的解集为N，若是的必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 . 【解析】 试题分析：（1）本题是一个一元二次方程在某个区间上有解的问题，通常有两种方法，一是 16.（本小题满分14分）已知． （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2）7. 【解析】 试题分析：（1）利用向量数量积的坐标表示，可转化为三角函数，然后利用利用三角 17.（本小题满分15分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 （1）求角； （2）若，求面积S的最大值. 18.（本小题满分15分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为． （1）当时，求直路所在的直线方程； （2）当为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？ 切线的方程为，即； （2），过切点的切线 即，令得，故切线交于点； 令，得，又在递减，所以 故切线与OC交于点。 地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形， 面积，当，。 考点：导数的应用、函数的最值. 19.（本小题满分16分）已知函数． （1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最小值为3，求实数的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）这是一个由函数在某区间上是增函数，求参数取值范围的问题，可转化为其（2）由（1）得，． ①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数． 所以，解得（舍去）． ②若，令，得．当时，，所以在上是减函数，当时，，所以在上是增函数． 所以，解得（舍去）． ③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数． 所以，所以． 考点：函数与导数、函数的单调性. 20.（本小题满分16分）已知数列中，前和 （1）求证：数列是等差数列 （2）求数列的通项公式 （3）设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）． （3）这是一个不等式恒成立问题，的最小值就是的最大值（上确界），而求是我们所熟悉的裂项相消法，于是本题不难得到结果. 试题解析：（1）由，知，两式相减得， ， 整理得，所以， 两式再相减整理得，， ∴数列为等差数列。