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第一章 函数和极限 第一节 函数（略讲） 第二节 极限 第三节 函数的连续性 1.1.4、分段函数和反函数 * * 授课内容：医学高等数学 授课教师：石巧连 办公地址：图书馆五楼（最南头） 计算机教研室 联系方式：0373-3029132（办公室） 电子邮箱：shiqiaolian@xxmu.edu.cn 成绩： 一、平时成绩（作业）：30分； 二、期末考试成绩：70分 每周每班交4人。 每次交作业统一用稿纸写，不收作业本。一定要写清班级、姓名和学号。 每班班长交一份本班学生名单并注明交作业分组情况。 高等数学研究的主要对象是函数，研究方法是极限方法。高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，极限概念是高等数学的重要概念，很好地理解极限概念是学习好微积分的关键。 高等数学：研究对象——函数 研究方法——极限 1、无穷小量及其比较 2、两个重要极限 1.1.3、初等函数 一、基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 常数函数 [定义2] 二、复合函数（重点） 如果由两个函数复合而成的函数的定义域为空集，则此复合函数无意义。 解题思路： 复杂 简单 解： （基本初等函数） 三、初等函数 [定义3] 由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数称为初等函数。 注：我们所讨论的函数，一般都是初等函数。 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数称为分段函数. 一、分段函数 例 定义域为 值域为 ． 注：1、分段函数是一个函数； 2、分段函数一般不是初等函数，但在各个段内的表达式一般 由初等函数表示； 3、求分段函数的函数值，不同范围内的自变量的值要带入相 应范围内 的函数表达式中去求。 二、反函数 1、直接函数的定义域（或值域）是他的反函数的值域（或定义域）。 2、直接函数在某个区间上有定义且是单调函数，他的反函数一定存在。 注： 1.2 函数的极限 1.2.1 数列的极限 1.2.2 函数的极限 割之弥细，所失弥少， 割圆术——运用极限的思想证明圆的面积公式的方法。 刘徽 割之又割以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣 1.2.2、函数极限 注： 注： 。 。 0 x y -1 -1 1 1 1.2.3、无穷小量（重点） 注1 ：无穷小是相应于某一变化过程而言； 注2 ：无穷小是变量，任何很小的常数都不是无穷小。 一、无穷小量的定义 二、无穷大量 三、无穷小定理及性质 1.2.5 无穷小的比较和阶 不是所有的无穷小都能进行比较。 等价无穷小具有传递性：即 常用的等价无穷小量： 等价无穷小的替换 定理(等价无穷小替换定理) 证 意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。 例3 解 注意 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 例4 解 错 解 1.2.4、极限的运算 在同一个变化趋势下