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* * 函数单调性的判定 一、拉格朗日中值定理 二、函数单调性的判定 一、拉格朗日中值定理 定理1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； 则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决. 拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线. 弦线的方程为 作辅助函数 即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差. 证 令 由于f(x)在[a,b]上连续，因此 在[a,b]上连续. 由于f(x)在(a,b)内可导，因此 在(a,b)内可导. 又由于 因此 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点 ，使 ，即 从而有 ，或表示为 上述结论对ba也成立. 如果f(x)在(a,b)内可导， 则在以 为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理，即 因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理. 其中 为之间的点.也可以记为 或 推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数. 事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得 由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数. 推论2 若在(a,b)内恒有　 　，则有 其中C为某常数. 由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C. f(x)=g(x)+C, 事实上，由已知条件及导数运算性质可得 例1 选择题.选出符合题意的选项. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有( ). 注意罗尔定理的条件有三个: (1)函数y=f(x) 在[a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b). 分析 不难发现 ，在[－2,0]上不满足连续的条件，因此应排除A. 对于 ，在[－2,4]上连续，在(－2,4)内可导；f(－2)=36，f(4)=0， ，因此应排除B. 对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可导，因此应排除Ｄ. 综合之，本例应单选Ｃ. 例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ). A.仅有一条； B.至少有一条； C.不一定存在； D.不存在. 由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，可知至少存在一点 使得 分析 又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在　　　　处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B. 例3 选择题.函数 在区间[－1,3]上满足拉格朗日中值定理的 =( ). 由于 在[－1,3]上连续，在(－1,3)内可导，因此f(x)在[－1,3]上满足拉格朗日中值定理条件. 分析 由拉格朗日定理可知，必定存在 由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(－1)=4,而 因此有 函数的单调性是函数的一个重要特性. 如果函数f(x)在某区间上单调增加，则它的图形是随x的增大而上升的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负，即