全微分的定义可微条件.pdfVIP

2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 1 全微分 全微分的定义 可微条件 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 2 ),(),( yxfyxxf ?Δ+ xyxf x Δ≈ ),( ),(),( yxfyyxf ?Δ+ yyxf y Δ≈ ),( 二元函数 对 x和对 y的偏微分 二元函数 对x和对 y的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 3 如果函数 ),( yxfz = 在点 ),( yx 的某邻域内 有定义，并设 ),( yyxxP Δ+Δ+′ 为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),( yxfyyxxf ?Δ+Δ+ 为函数在点 P对应于自变量增量 yx ΔΔ , 的全增 量，记为 zΔ ， 即 zΔ = ),(),( yxfyyxxf ?Δ+Δ+ 全增量的概念 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 4 如果函数 ),( yxfz = 在点 ),( yx 的全增量 ),(),( yxfyyxxfz ?Δ+Δ+=Δ 可以表示为 )(ρoyBxAz +Δ+Δ=Δ ，其中 BA, 不依赖于 yx ΔΔ , 而仅与 yx, 有关， 22 )()( yx Δ+Δ=ρ ， 则称函数 ),( yxfz = 在点 ),( yx 可微分， yBxA Δ+Δ 称为函数 ),( yxfz = 在点 ),( yx 的 全微分，记为dz，即 dz= yBxA Δ+Δ . 全微分的定义 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 5 函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 如果函数 ),( yxfz = 在点 ),( yx 可微分, 则 函数在该点连续. 事实上 ),(ρoyBxAz +Δ+Δ=Δ ,0lim 0 =Δ → z ρ ),(lim 0 0 yyxxf y x Δ+Δ+ →Δ →Δ ]),([lim 0 zyxf Δ+= →ρ ),( yxf= 故函数 ),( yxfz = 在点 ),( yx 处连续. 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 6 二、可微的条件 定理 1（必要条件）　如果函数 ),( yxfz = 在点 ),( yx 可微分，则该函数在点 ),( yx 的偏导数 x z ? ? 、 y z ? ? 必存在，且函数 ),( yxfz = 在点 ),( yx 的全微分 为 y y zx x zdz Δ ? ? +Δ ? ? = ． 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 7 证 如果函数 ),( yxfz = 在点 ),( yxP 可微分, ∈Δ+Δ+′ ),( yyxxP P的某个邻域 )(ρoyBxAz +Δ+Δ=Δ 总成立, 当 0=Δy 时，上式仍成立，此时 || xΔ=ρ , ),(),( yxfyxxf ?Δ+ |),(| xoxA Δ+Δ?= A x yxfyxxf x = Δ ?Δ+ →Δ ),(),(lim 0 , x z ? ? = 同理可得 . y zB ? ? = 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 8 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例 如， . 00 0 ),( 22 22 22 ?? ? ? ? =+ ≠+ += yx yx yx xy yxf 在点 )0,0( 处有 0)0,0()0,0( == yx ff 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 9 ])0,0()0,0([ yfxfz yx Δ?+Δ??Δ ,)()( 22 yx yx Δ+Δ Δ?Δ = 如果考虑点 ),( yxP ΔΔ′ 沿着直线 xy = 趋近于 )0,0( ， 则 ρ 22 )()( yx yx Δ+Δ Δ?Δ 22 )()( xx xx Δ+Δ Δ?Δ = , 2 1 = 说明它不能随着 0→ρ 而趋于 0, 0→ρ当 时， ),(])0,0()0,0([ ρoyfxfz yx ≠Δ?+Δ??Δ 函数在点 )0,0( 处不可微. 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 10 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理２（充分条件）　如果函数 ),( yxfz = 的偏 导数 x z ? ? 、 y z ? ? 在点 ),( yx 连续，则该函数在点 ),( yx 可微分． 证 ),(),( yxfyyxxfz ?Δ+Δ+=Δ )],(),([ yyxfyyxxf Δ+?Δ+Δ+= )],,(),([ yxfyyxf ?Δ++ 20