现代数字信号处理(chap2线性模型)(2011修订版)精选.ppt

。 对理想功率谱进行同样的采样计算,得到 以k为横坐标,功率谱采样值为纵坐标,画出估计得到的功率谱图以及理想的功率谱图,观察是否基本一致. (9) 观察ARMA模型的预测精度 初始预测值 从n=5开始进行预测 上机实验 n?5的x(n)的预测直接采用已经估计出来的ARMA模型以及在n时刻以前的已经得到的观测值与预测值. 计算平均预测误差功率 以n为横坐标,数据值为纵坐标,画出n=99500至100000的x(n)和 的波形图,观察预测值与实际值的相似性及差异 注:对于预测应用而言,均值未知,需要根据已经获取的数据进行估计和更新 上机实验 。 。 。 。 第四节 ARMA模型 根据前面得到的方程 令: r=q+1,q+2,…,q+p, 得到Yule-Walker方程 求解上述线性方程组,得到a1,a2,…,ap 第四节 ARMA模型 定义新的离散随机过程 是一个MA(q)过程,容易证明,其样本自协方差函数满足 参照第三节介绍的MA模型的参数估计方法 练习 第四节 ARMA模型 递推算法实现, 任意给定噪声方差的初始估计值 以及MA系数的初始估计值 按j=1,2,3,….进行迭代运算 满足 且 第四节 ARMA模型 在单位圆内及单位圆上无零点,则得到最后的估计 否则改变初始条件重新迭代。 附：也可以采用新息法估计MA部分的参数；公式在MA模型中已经介绍，只要以 替代 则可。 模型的定阶问题：AIC准则，选择AIC(p,q)值最小的p,q 第四节 ARMA模型 附录(自学)：基于ARMA模型的单步预测，假设模型参数已知(相关函数可以根据模型参数计算) ；初始条件 x0=x-1=x-2=…=0;按顺序进行单步预测的过程为 第1步：由x1 预测 x2 [在已获x1未获得x2时] 第2步：由x1 ,x2预测 x3 [在已获x2未获得x3时] 获得上一步的预测误差 为下次预测做准备 此处rX(m)为根据模型参数计算得到的相关函数 第四节 ARMA模型 以此类推 第n步：由x1 ,x2,…,xn预测 xn+1 [在已获xn未获得xn+1时] 第四节 ARMA模型 当n足够大时，?n,q+1, ?n,q+2,…, ?n,n趋近于0，于是可以简化运算 第四节 ARMA模型 当n足够大时，由于?n,q+1, ?n,q+2,…, ?n,n趋近于0 ，可以简化运算 第四节 ARMA模型 三、功率谱密度函数 第四节 ARMA模型 ARMA(p,q)模型特点 1. 广义平稳条件：H(z)稳定 2. 自相关函数与模型参数之间的关系不具有线性关系 3.自相关函数满足推广的Yuler-Walker方程 4. ARMA模型的参数估计 第五节 平稳随机过程的一般线性表示 一、一般线性表示 G(z)因果稳定，则x(n)平稳 G(z) 对于任何因果线性系统 无穷阶的MA系统 练习 二、一般线性表示的存在性 对于实平稳随机过程 实、非负 已知 ，能否找到一个因果稳定的线性系统 G(z) ，使得白噪声通过该系统后，输出随机过程具有功率谱 ？ 若平稳过程 的功率谱密度函数 满足条件 则必存在函数 (gn为实的) ，满足 Fejer—Riess 定理 第五节 平稳随机过程的一般线性表示 且G(z)是最小相位的(因果，且所有零、极点均在单位圆内，必然是平稳的) 显然(充分性)，如果 则 的零、极点必然围绕单位圆成对出现 选择 中单位圆内的零极点因子构成 ，让白色噪声通过该系统，则输出过程xn的功率谱必然满足 正则分解 第五节 平稳随机过程的一般线性表示 必要性，如果rx(k)为实随机过程x(n)的相关函数，Px(?)为实随机过程x(n)的功率谱，则有 则 的零、极点必然围绕单位圆成对出现 选择 中单位圆内的零极点因子构成 ，则必有 第五节 平稳随机过程的一般线性表示 xn如何线性生成？ 例2.1 解： 利用 单位圆内零、极点因子构成 AR(1,1) 正\实\偶函数 在功率谱意义上等价 第五节 平稳随机过程的一般线性表示 第六节 各种线性模型间的关系 各种线性模型之间的关系 例 AR(1) 结论: AR(1)模型与某个无限阶的MA模型等价 第六节 各种线性模型间的关系 例