几个典型的代数系统.pptVIP

若环R,+,·至少含有2个元素且是含幺和无零因子的，并且?a∈R（a≠0）有?a-1∈R，则称R为除环。 若环R,+,·既是整环，有是除环，则称R是域。 例如：有理数集Q、实数集R、复数集C关于普通的加法和乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域。 整数环Z是整环，而不是域。 对于模n的整数环Zn，若n是素数，那么Zn是域。 例： (1) 整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环。 (2) 令2Z={2z|z∈Z}，则2Z,+,·构成交换环和无零因子环。 但不是含幺环和整环。 (3) 设n?Z, n?2, 则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环。 (4) Z6,?,?构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环。 可以证明对于一般的n, Zn是整环当且仅当n是素数。 下面是域的性质： 定理6.6 设R,+,·是环，则  (1) ?a∈R，a·0 = 0·a = 0 (2) ?a, b∈R，(?a)b = a(?b) = ?(ab) (3) ?a, b∈R，(?a)(?b) = ab (4) ?a, b, c∈R，a(b?c) = ab?ac， (b?c)a = ba?ca 例： 在环中计算(a+b)3, (a?b)2 解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2+ba+ab+b2)(a+b)  = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3  (a?b)2 = (a?b)(a?b)=a2?ba?ab+b2 (2) 不是环, 关于加法不封闭. 例： 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域. 如果不构成, 说明理由. (1) A= {a+bi | a,b∈Q}, 其中i2= ?1, 运算为复数加法和乘法. (2) A={2z+1 | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法. (3) A={2z | z∈ Z}, 运算为实数加法和乘法. (4) A={x | x≥0 ∧ x∈Z}, 运算为实数加法和乘法. (5) , 运算为实数加法和乘法. 解 (1) 是环, 是整环, 也是域. (3) 是环, 不是整环和域, 乘法没有单位元. (5) 不是环, 关于乘法不封闭. (4) 不是环, A关于加法不构成群. 6.3 格与布尔代数 定义6.10 设S,?是偏序集，如果?x, y?S，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序?构成一个格。  由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成 x与y 的二元运算∨和∧，即x∨y 和 x∧y 分别表示x与y的最小上界和最大下界. 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其他的含义.? 例： 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合。 D为整除关系，则偏序集Sn,D构成格。 ?x,y∈Sn，x∨y是 lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数；x∧y是 gcd(x,y)，即 x与y 的最大公约数. 实例： 例： 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由。 (1) P(B),? ，其中P(B)是集合B的幂集。 (2) Z, ≤，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系。 (3) 偏序集的哈斯图分别给下图： 解: (1),(2)是格，(3)中的都不是格。 格的性质——对偶原理 设 f 是含有格中元素以及符号=,? ,? ,∨和∧的命题。 令f*是将 f 中的?替换成?、?替换成?、∨替换成∧、 ∧替换成∨所得到的命题。 称 f* 为 f 的对偶命题。 例如在格中令 f 是 (a∨b)∧c?c, 则f*是 (a∧b)∨c?c 。 那么 f 与 f* 互为对偶命题。 格的对偶原理 设 f 是含有格中元素以及符号=、?、?、∨和∧等的命题，若 f 对一切格为真, 则 f 的对偶命题 f*也对一切格为真。? 例如, 对一切格L命题“?a,b∈L, a∧b?a”都成立， 根据对偶原理，对一切格L，命题 “?a,b∈L, a∨b?a”也为真。 定理6.7 设L,?是格, 则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律，即 (1) ?a,b∈L 有 a∨b=b∨a ，a∧b=b∧a (2) ?a,b,c∈L 有 (a∨b)∨c=a∨(b∨c) ， (a∧b)∧c=a∧(b∧c) (3) ?a∈L 有 a∨a=a ，a∧a=a