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迭代法的局部收敛研究
定理2.1 给出了迭代法(2.2.2)在区间[a,b]上的收敛性，称为全局收敛性，下面讨论φ在不动点x*附近的收敛性问题. 定义2.1设φ在某区间I有不动点x*，若存在x*的一个邻，对,迭代法(2.2.2)生成的序列,且收敛于，则称迭代序列局部收敛. 定理2.2 设为φ的不动点，在的邻域S连续，且，则迭代法(2.2.2)局部收敛. 证明 由的连续性， 使并有所以对，有,故φ在区间满足定理2.1的条件.故由式(2.2.2)生成的序列｛｝对均收敛于.证毕.注意局部收敛性定理是假定φ的不动点x*存在时得到的，它只要求，于是其应用较定理2.1简单，并且还可判断不同迭代序列收敛的快慢. 例2.4 构造不同迭代法求的根. 解 (1) 不满足定理2.2条件. (2) .收敛. (3)收敛. 若取x0=2,分别用上述三种迭代计算，结果见表2-3. 3=1.7320508,从表2-3看到迭代法(1)不收敛，迭代法(2)和迭代法(3)收敛，在迭代法(3)中，收敛最快. 表 2－3 迭代法（1） 迭代法（2） 迭代法（3） 0 1 2 3 2 1.5 2 1.5 2 1.75 1.734 75 1.732 361 2 1.75 1.732 143 1.732 051
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