连续统假设的否定四.docVIP

连续统假设的否定（四）（简称否定（4）） 一、摘要：本文用否定连续统假设某一个推论的方法来否定连续统假设。 二、关键词：（一）可数 （二）不可数 （三）交集 （四）稠密集 （五）疏朗集 （六）不可数疏朗集 （七）凝聚点 （八）邻域 三、连续统假设的推论一（简称推论一）[一] 在（-∞，+∞）中存在一个不可数子集E，它和（-∞，+∞）中每一个无处稠密集（既疏朗集）的交集至多是可数的。 下面我们证明推论一不成立。 引理一、设A、B为任意二集合，若AB，则A≥B。 证：设ＸB为B中任一元素，由于假设BA，故ＸBA，但A中至少有一元素ＸAB，否则就有AB，和BA的假设矛盾，这时A中元素不少于B中元素，即A≥B。 定理一：设E为（-∞，+∞）中任一个不可数子集，则在（-∞，+∞）中至少存在一个不可数疏朗集E2,使EE2为不可数集。 证：假设E1为E中所有凝聚点的集合，E2为某一个不可数疏朗集，假设E和E2相交，又设E3为E2中所有凝聚点的集合，而且假设E1为E3也相交，则EE2=E0也由凝聚点组成，下面先证明E0为不可数集。 设X0为E0中任一元素，因为E0全由凝聚点组成，故X0也不例外，则以X0为中心的任一δ邻域内，都含有E0中不可数的点，即δ=C（C为不可数集的势），又因假设E为不可数集，故Ｅ＝Ｃ，当δ邻域充分小时，它就包含在E0内部，即δ E0Ｅ（因E0E１Ｅ），根据引理一，就有Ｃ＝δ≤E0≤Ｅ＝Ｃ……（１），最后由（１）式得出Ｅ０＝Ｃ，即E0为不可数集。 下面再证明EE2为不可数集，由于E0=E1E3，又因E1Ｅ，E3Ｅ2，故E0=E1E3EＥ2……（2），下面证明包含式（2），设X0为E0中任一元素，则X0E1E，且X0E3E2,即X0E，且X0E2，故X0EE2，即包含式（2）成立，又因EE2E，故E0EE2E，根据引理一，就有C=E0≤EE2≤E=C……（3），最后由（3）式得出EE2=C，即EE2为不可数集。 已上是假设E和E2相交，而且Ｅ和E2的凝聚点集E１和 E３也相交，在此条件下证出EE2为不可数集，现在我们把定理一的证明方法由特殊情况推广到一般情况中去。 在定理一中，Ｅ是任意的，没有选择的余地，但E2是可以选择的，对于任意的不可数集Ｅ，我们可以制造出一个类似康托三分集的不可数疏朗集E2，所不同的是，康托三分集只在［０，１］内部，而这个特意制造的不可数疏朗集E2可以放在（-∞，+∞）中的任意一处，其目的只有一个，即使EE2为不可数集。 从前面特殊情况的证明过程中可以看出，只要EE2中存在凝聚点，就能保证EE2为不可数集，因为Ｅ是任意的，不能选择，但E2可以选择，前面已经提到，可将E2放在（-∞，+∞）中的任意一处，使E2和E相交（不要只交于一点），因E2中的凝聚点均匀分布（这个E2和康托三分集的构造相同，只是所处的位置不同），因此在EE2中，即使不含Ｅ的凝聚点，但很难免不含E2的凝聚点（除非E2和Ｅ只相较于一点），假设EE2中含有E2的凝聚点Ｘ2（只要Ｅ和E2不只相交于一点，这种可能一定存在），则以Ｘ2为中心的任一δ邻域内，都含有E2中不可数的点，即δ=C，又因Ｅ为不可数集，故Ｅ=C，当δ邻域充分小时，它就包含在EE2内部，即δEE2Ｅ，再用前面的证法，也能证出EE2=Ｃ，即EE2为不可数集。 总而言之，推论一中所说，存在一个不可数集，它和每一个疏朗集的交集都是至多可数集，是不能成立的，而根据本文定理一中所说，对于（-∞，+∞）中任一个不可数子集Ｅ来说，在（-∞，+∞）中至少存在一个不可数疏朗集E2使EE2为不可数集，于是推论一被推翻。 例一、设Ａ１为［０，１］中所有点的集合，Ａ２为康托三分集中所有点的集合，由于Ａ２Ａ１，故Ａ１Ａ２＝Ａ２， Ａ１Ａ２＝Ａ２＝Ｃ，即ＡＡ２为不可数集，不但如此，其它包含［０，１］的不可数集，和Ａ２的交集都是不可数集；对于那些不包含［０，１］的任意不可数集，可使那个新构造的不可数疏朗集和其相交（不要只交于一点），根据定理一，其交集也是不可数集。 五、连续统假设的否定 否定了连续统假设的推论，或者否定了连续统假设的等 价命题，就等于否定了连续统假设，到目前为止，笔者已否定了连续统假设的一个等价命题，三个推论，否定连续统假设的工作已基本完成。 参考文献（一）：连续统假设 （张锦文 王雪生）合著 出版地点：沈阳辽宁教育出版社 出版时间：1989年4月 作者：陈守仁 河北大学数学系本科 六O届毕业生 退休前担任天津市家电五厂职工业校 数学教师