讲函数连续及运算.docVIP

第7讲 函数连续性概念函数连续性概念 教学内容 1. 函数在一点和在区间上连续的定义2. 左（右）连续3. 间断点分类连续函数四则运算 连续函数的． 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握函数连续性的概念、可去间断点，会判定分段函数的连续性，掌握连续函数四则运算。 教学重点及难点 教学重点：函数连续性概念连续函数四则运算连续函数的 教学方法及教材处理提示 (1)??? 函数连续性概念是本次课的教学重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．函数连续是客观事物连续变化的数量反映. (2) 证明函数的连续性的技巧性较强，可在此对学生布置有关习题，使学生加深对连续性的理解和认识. (3) 在讲授连续函数四则运算和局部性质时，应与极限的相关性质进行类比，收效会好些. (4)通过举例介绍求幂指函数的极限，即. 作业布置 作业内容：教材 :2（3，4，6），3（2），4；补充题3道. 讲授内容 一、函数在一点的连续性 定义1 设函数在某内有定义．若=， 则称在点连续． 例如，函数连续在点连续，因为= 又如，函数,在点连续，因为 为引入函数在点连续的另一种表述，记，称为自变量 (在点)的增量或改变量．设，相应的函数 (在点)的增量记为: 注：自变量的增量或函数的增量可以是正数，也可以是或负数．引进了增量的概念之后，易见“函数在点连续”等价于. 由于函数在一点的连续性，也可直接用方式来叙述，即：若对任给的，存在，使得当时有，则称函数在点连续． 例1 证明函数)在点连续，其中为狄利克雷函数． 证：由及，对任给的，为使，只要取，即可按定义推得在连续．可以证明函数、、等在任意一点连续. 定义2 设函数在某内有定义．若,则称在点右(左)连续． 定理4.1 函数在点连续的充要条件是：在点既是右连续又是左连续． 例2 讨论函数 在点的连续性. 解：因为，，而，所以在点右连续，但不左连续，从而它在不连续. 二、 间断点及其分类 函数不连续的点称为函数的间断点，若为函数的间断点，则必出现下列情形之一： （i）在点无定义或极限不存在； （ii）在点有定义且极限存在，但 1.可去间断点若而在点无定义，或有定义但，则称为的可去间断点． 例如，函数，由于，而在无定义，所以是函数的可去间断点． 例如，对上述的，定义： ，则在连续． 2．跳跃间断点 若函数在点的左、右极限都存在，但则称点为函数的跳跃间断点． 例如，对函数 当 (为整数)时有，，所以在整数点上函数的左、右极限不相等，从而整数点都是函数的跳跃间断点． 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点．第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在． 3．函数的所有其他形式的间断点，即函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第二类间断点． 例如，函数，当时，不存在有限的极限，故是的第二类间断点．函数在点处左、右极限都不存在，故是的第二类间断点．又如，对于狄利克雷函数，其定义域上每一点都是第二类间断点． 三、区间上的连续函数 若函数在区间上的每一点都连续，则称为上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续． 例如，函数和都是R上的连续函数．又如函数在每一点处都连续，在为左连续，在为右连续，因而它在上连续． 若函数在区间上仅有有限个第一类间断点，则称在上分段连续．例如，函数和在区间上是分段连续的． 例3 证明：黎曼函数，在内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续． 证：设为无理数．任给 (不妨设)，满足的正整数显然只有有限个(但至少有一个，如)，从而使的有理数只有有限个(至少有一个，如)，设为取，则对任何，当为有理数时有，当为无理数时于是，对任何，总有，所以在无理点处连续． 现设为 内任一有理数，取，对于任何正数（无论多么小），在内总可以取到无理数，使得所以 在任何有理点处都不连续． 四、连续函数的性质 定理4.4(四则运算) 若函数和在点连续，则(这里)也都在点连续． 显然，推出多项式函数和有理函数（为多项式)在其定义域的每一点都是连续的．同样，由和在上的连续性，可推出与在其定义域的每一点都连续． 定理4.5 若函数在点连续，在点连续，,则复合函数在点连续． 证：由于在连续，对任给的，存在，使得当时有． 又由及在点连续，故对上述，存在，使得当时有． 于是对任给的，存在，当时,有，所以在点连续． 注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表为． 例4 求． 解：可看作函数与的复合．于是得 ． 注：若复合函数的内函数当时极限为，而或