等价关系离散数学绪论.docVIP

等价关系（4学时） 【教学目的】 了解、掌握等价关系及相应的等价类与集合划分正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系(，求对应于(的等价关系 【教学重点】 等价关系、偏序关系的各种性质的判断和证明；如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系——等价关系(Equivalence Relation). 一、等价关系(Equivalence Relation) 1、定义4.18 设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的, 则称R为A上的等价关系.设R是一个等价关系, 若x, y(R, 称x等价于y, 记作:x ~ y. 例4.17 设A = { 1, 2, …, 8 }, 如下定义A上的关系R: R = { x, y | x, y(A∧x≡y （mod 3） } 其中x≡y（mod 3）是x与y模3. 不难验证R为A上的等价关系, 因为: (x(A , 有: x≡x（mod 3） (x,y(A, 若x≡y（mod 3）, 则有: y≡x （mod 3） (x,y,z(A, 若x≡y（mod 3）, y≡z（mod 3）, 则有: x≡z.（mod 3） 该关系的关系图如右图所示. 不难看到, 上述关系图被分为三个互不连通的部分.每部分中的数两两都有关系.不同部分中的数则没有关系, 每一部分中的所有的顶点构成一个等价类. 4.2等价关系与划分 2、定义4.19 设R为非空集合A上的等价关系, (x(A, 令 [x]R = { y | y(A∧xRy } 　 称[x]R为x关于R的等价类(Equivalent Class), 简称为x的等价类, 简记为[x]. 从以上定义可以知道, x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合. 例4.17中的等价类是: [1] = [4] = [7] = { 1, 4, 7 } [2] = [5] = [8] = { 2, 5, 8 } [3] = [6] = { 3, 6 } 关于等价类，有如下性质： 定理4.8 设R为非空集合A上的等价关系, 则 (1) (x(A, [x]是A的非空子集; (2) (x,y(A, 若x, y(R, 则[x] = [y]; (3) (x,y(A, 若x, y(R, 则[x]与[y]不交; (4) ∪{ [x] | x(A } = A. 证 (1) 由等价类的定义可知, (x(A, 有: [x] ( A. 由“等价关系的自反性”可知: x([x], 即: [x]非空. (2) 任取z, 则有 z([x] ( x, z(R ( z, x(R (因为R是对称的) 因此有 z, x(R∧x, y(R ( z, y(R (因为R是传递的) ( y, z(R (因为R是对称的) 从而证明了z([y].综合上述, 必有: [x] ( [y]. 同理可证: [x] ( [y].这就得到了: [x] = [y]. (3) 假设: [x]∩[y] ( (. 由假设可知: (z([x]∩[y], 即: z([x]∧z([y]. 所以, x, z(R和y, z(R. 由“R的对称性”和“y, z(R”可知: z, y(R. 再由R的对称性可得: x, y(R. 这就与“已知条件: x, y(R”相矛盾. 所以, 命题成立, 即: [x]∩[y] = (. (4) 先证: ∪{ [x] | x(A } ( A 证: (4.1) 任取y, y(∪{ [x] | x(A } ( (x(x(A∧y([x]) ( y(A 从而有: ∪{ [x] | x(A } ( A 再证: A ( ∪{ [x] | x(A }. (4.2) 任取y, y(A ( y([y]∧y(A 　　 ( y(∪{ [x] | x(A } 从而有: A(∪{ [x] | x(A }成立. 综合上述得: ∪{ [x] | x(A } = A. 3、定义4.20 设R为非空集合A上的等价关系, R所有等价类所组成集合称为A关于R的商集, 记作A/R, 即: A/R ＝ {[x]R |（一切x∈A）} 例4.17中的商集为: { {1, 4, 7 }, { 2, 5, 8 }, { 3, 6 } }. 和等价关系及商集有密切联系的概念是集合的划分. 定义7.18 设A为非空集合, 若A的子集族((( ( P(A)), 是A的子集构成的集合)满足下面的条件: (