24.1.4 圆周角.pptVIP

一. 复习引入: 1.圆心角的定义? . O B C 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 中学数学网（群英学科）收集提供 如图，顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. ●O B A C 思考：圆周角的特征是什么？ 特征： ①角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. 练一练 1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ） 2、图3中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。 3、写出图4中的圆周角：________________________ B C ∠CAB 、 ∠ACB、 ∠CBA 探究：有关圆周角的度数 1． 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？２．９０°的圆周角所对的弦是否是直径？ 线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）,那么，∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角.想想看，∠ACB 会是怎么样的角？为什么呢？ 证明： ∵OA＝OB＝OC， ∴△AOC、△BOC 都是等腰三角形 则∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∵ ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 即：不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°， 结论： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径。 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？ 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系. ●O ●O ●O A B C A B C A B C 圆周角和圆心角的关系 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系? 注意：圆心与圆周角的位置关系. ●O A B C ●O A B C ●O A B C 1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. ∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ●O A B C ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = ∠AOC. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 过点B作直径BD.由1可得: ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. A B C D ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ●O D A B C 过点B作直径BD.由1可得: ∴ ∠ABC = ∠AOC. ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径． · B C1 O C2 C3 例1 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， 解：∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中， ∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD. 例2.如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。 解：连接CF ∵ ∠BFC是△DFC的一个外角 ∴ ∠BFC ∠BDC ∵ ∠BAC = ∠BFC （同弧所对的圆周角相等） ∴ ∠BAC ∠BDC 2、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ _； 1. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则 ∠CAD=______； 20° 25° 练一练 练一练 3、如图6，已知∠ACB = 20o，则∠AOB = _____， ∠OAB ＝　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　 40