2014年中考数学一轮复习学案第14讲 三角形与全等三角形.docVIP

第14讲 三角形与全等三角形 【考纲要求】 1．了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系． 2．理解三角形内角和定理及推论． 3．理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质． 4．掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明. 【命题趋势】 中考中多以填空题、选择题的形式考查三角形的边角关系，通过解答题来考查全等三角形的性质及判定．全等三角形在中考中常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合，考查学生综合运用知识的能力. 【考点探究】 考点一、三角形的边角关系 【例1】若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是(　　) A．1 B．5 C．7 D．9 解析：设第三边为x，根据三角形三边的关系可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7. 答案：B 方法总结 1．在具体判断时，可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较．若这两条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形．否则就不能组成三角形． 2．三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系． 触类旁通1 已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为(　　) A．2 B．3 C．5 D．13 考点二、全等三角形的性质与判定 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板AED如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想． 解：BE＝EC，BE⊥EC.证明如下： ∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD. ∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°. 又∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC. 方法总结 1．判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．在具体的证明中，要根据已知条件灵活选择证明方法． 2．全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系． 触类旁通2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D. 求证：△BEC≌△CDA. 考点三、真假命题的判断 【例3】下列命题，正确的是(　　) A．如果|a|＝|b|，那么a＝b B．等腰梯形的对角线互相垂直 C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形 D．相等的圆周角所对的弧相等 解析：A项错误，例如：|－2|＝|2|，但－2≠2；B项错误，等腰梯形的对角线可能垂直，但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；C项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到；D项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中． 答案：C 方法总结 对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题． 触类旁通3 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号) 考点四、证明的方法 【例4】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.求证：(1)△BFC≌△DFC； (2)AD＝DE. 证明：(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF. 在△BFC和△DFC中， ∴△BFC≌△DFC. (2)如图，连接BD.∵△BFC≌△DFC， ∴BF＝DF.∴∠FBD＝∠FDB. ∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB. ∴∠ABD＝∠FBD. ∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC. ∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC. ∴∠BDA＝∠BDC. 又BD是公共边，∴△BAD≌△BED.∴AD＝DE. 方法总结 1．证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密．要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法． 2．证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法； (2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法； (3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法． 触类旁通4 如图，在△