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浅谈数形结合思想在高考解题中的应用 5号 海口市琼山中学 叶永海 摘要:数形结合是数学解题中常用的思想方法。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维。数形结合是数学解题中常用的思想方法。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起。如果把抽象的数学知识与具体的图形结合起来，挖掘和利用概念中的直观成分，充分利用这种结合，寻找解题思路，无形的解题思路形象化能有效降低教学难度，使问题化难为易、化繁为简，有助于把握数学问题的本质。纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果解决集合问题：常常借助于数轴、Venn图来集合的运算，使问题得以简化，运算快捷明了。 （2010辽宁理数）已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},（B∩A）={9},则A=（ ） A .{1,3} B. {3,7,9} C. {3,5,9} D. {3,9} 解析：根据题目所提供的条件，用Venn图（如右图）。由图可知A={3,9} 【点评】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的 运算，但通过直接运算不易得出结果，利用用数形结合思想，以形代数，把抽象化直观，轻松的解决。 　　 二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 (0),则的最大值为（ ） A .4 B. 5 C. 6 D. 7 解析：构造函数y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x，并画出函数图象（如右图），观察图象可知， 当0≤x≤2时，函数f（x）＝2x上存在最小值 当2≤x≤4时，函数f（x）＝x＋2上存在最小值， 当x＞4时，函数f（x）＝10－x上存在最小值， 综上所述，f（x）的最大值在x＝4时取得为6，故选C.. 【点评】借助函数图象，不仅很好地理解题意，而轻而易举地得出了的最大值，这是“以形助数”，否则，需要用解不等式组的方式求得的分段表 达式，并求出每段上的最大值。从中选出最大值，那将是很繁琐的，环节很多， 出错率高. 三、解决方程的问题：处理问题时，方程的根问题看作两个函数图象的交点问题的实数根的个数 解析：构造两个函数和，并在同个一坐标系里画出函数图象。从图（下图）中的到3个交点，也就是说此方程有3个实数根. 【点评】此方程是一个超越方程，用代数方法求解该方程是很困难的用数形结合，方程的解就是函数图象的交点的横坐标，因此这两个函数的图象交点的个数即为方程解的个数,突出了对转化思想和数形结合思想的考查. 四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法 即 得 结合图象分析得:. 【点评】本题通过代数方法是无法解决,可利用数形结合思想, 以形助数,画出三角函数的图象，观察图象,发现。 五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用（2010上海文数）满足线性约束条件的目标函数的最大值是（ ） A .1. B. . C.2. D.3. 解析：根据线性约束条件作出平面区域（ 如上图） 把目标函数转化为直线，将最值问题转化为截距问题，根据图象可知，当直线过点B(1,1)时，z有最大值，最大值为2 【点评】本题如果通过代数方法,由于满足不等式组的解有无数多个,根本无法确定最值,利用数形结合思想.以形助数, 使问题化难为易、化繁为简　、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析：曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线距离等于2，解得，因为是下半圆故可得（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确. 【点评】对于直线