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科目：数学 年级：初三 教师：张立平 2005——2006学年第二学期第三周 第二章 二次函数（1---3） 主要知识介绍 函数是初中数学中重要内容之一，它使我们从研究常量转化为研究变量之间的相依关系．通过函数概念、图象和性质的学习和研究，可以用几何图形来解决代数问题，使代数知识变得形象、直观，便于理解．另一方面，也可以用代数的方法来研究几何中的问题，对今后分析问题、解决问题有着十分重要的意义． 前面，我们在学习了函数的一些基本知识的基础上，共同研究了两种特殊的函数-----一次函数及反比例函数的图象、性质以及它们在实际生活的简单应用．从本节内容开始，我们将再学习另一种重要的函数---------二次函数，研究它的定义、图象、表示法和性质以及如何应用二次函数的知识解决一些实际问题．进一步培养画图、识图、分析问题和解决问题的能力。 本章主要内容是二次函数的概念、图象、表示方法、性质及实际应用．第一部分，讲的是二次函数的概念及最简单的二次函数的图象、性质和简单的实际应用；第二部分，主要讲的是一般二次函数的图象、表示方法及性质、第三部分，主要讲的是二次函数与代数几何的联系和应用． 本周学习导航 1. 二次函数的概念 形如y=ax2＋bx＋c (a≠0, a,b,c是常数)的函数叫做二次函数． 在理解二次函数的定义时，应注意下述问题： (1 ) ax2称为二次项，bx称为一次项，c称为常数项，a称为二次项系数，b称为一次项系数． (2) 在解析式中最高项是ax2项且系数a≠0，而b，c可以不为零，也可以为零，这对于判断一个函数是否是二次函数不起作用．如y=2x2 (b=0,c=0)，y =－x2+3x (c=0)， y = x2一5(b=0)都是二次函数． (3) 自变量x的取值范围是任何实数． (4) 如果a=0，则该函数一定不是二次函数，但不一定是一次函数，如果a=0，b≠0才是一次函数． （5）如果一个函数的解析式形如y= ax2十bx十c(a≠0)，则这个函数一定是二次函数．反之，如果一个函数是二次函数，那么它的解析表达式一定是y=ax2十bx十c (a≠0)的形式． 2. 二次函数函数值的计算 (1) 已知二次函数的解析式，计算它的函数值，只需将自变量x所取的值代人解析式中，计算并化简得结果； (2) 已知二次函数的解析式，若已知二次函数的函数值，求自变量x的值，可以通过逆向思维，解关于x的一元二次方程即可． 3. 用二次函数描述有关实际问题中的变量间的关系 在实际生活中，有许多关系可以用二次函数关系表示出来，从而我们要研究这类函数的变化规律，解决实际问题． 如何建立实际问题中的二次函数关系式 （1）审清题意 找出实际问题中的已知量（定量），未知量（变量）并分析它们之间的关系，将文 字或图形语言转化为数学符号语言． （2）建立函数关系式 根据前面的思考和分析，得到函数关系，即用自变量解析式来表示函数，并判断它是否为二次函数． (3) 确定函数的定义域 二次函数的自变量一般情况下没有条件限制，即自量x可取一切实数，但是在实际问题中，变量都有一定的实际意义，要受到一定的条件限制，所以在求出二次函数解析式时，还要指明它的定义域． 重难点分析 重点：（1）二次函数的概念 （2）会用描点法画出二次函数y =ax2(a≠0)的图象． 难点：（1）建立实际问题中的二次函数关系式． （2）由抛物线的图象直观得到二次函数y=ax2(a≠0)的有关性质． 典型例题与分析 【例1】下列函数中，y是x的二次函数的是 （ ） A．x十y2一1 = 0 B. y = (x＋1)(x－1)一（x一1）2 C. y = 2＋ D.x2＋3y－2 = 0 分析：先将函数式进行变形，转化为用x的代数式表示y的形式，再根据二次函数定义 进行对比． 解：把A变形为 y 2=－x＋l，自变量x的最高次数不是2，而且y的次数不是1． ∴ A不是． 把B变形为y=2x－2，自变量x的次数不是2. ∴ B不是． ∵ C的等式右边是关于x的无理式，不是整式， ∴ C不是． 把D变形为：y =－x2＋．符合二次函数定义． ∴ 应选D. 【例2】有一长方体盒子，底面长比宽多5 cm，高是6cm，若设底面宽为x cm， 求该盒子的体积y cm3，关于x的函数表达式．