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第一章　常用逻辑用语复习 第一讲　命题及其关系、充要条件与必要条件 一．四种命题及其相互关系 1．命题的定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的　　　　叫做命题。其中判断为真的语句叫做　　　　，判断为假的语句叫做　　　　。 2．命题的结构：在数学中，具有“若则”这种形式的命题是较为常见的，我们把这种形式的的命题中的叫做　　　　　　，叫做　　　　　　。 3．四种命题的概念：一般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，于是四种命题的形式就是 原命题：若则；逆命题：　　　　；否命题：　　　　；逆否命题：　　　　。 关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的　　　　　；（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的　　　　　；（3）交换原命题的条件和结论，同时进行否定，所得的命题是原命题的　　　　　。 4四种命题之间的相互关系如下图所示： 　　由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的　　　　；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性　　　　　　。 5．反证法：由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以我们在直接证明某一命题有困难时，可以通过证明　　　　　　　　，来间接地证明原命题为真命题，这种证明的方法，称作是　　　　。用反证法证明的步骤如下：（1）　　　　　　　　　　，即假设结论的反面成立；（2）从　　　　　　　　　出发，经过推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，　　　　　　　。 二．充分条件与必要条件 6．若分别两个命题， 若 ，则叫做的充分不必要条件；若 ，则叫做的必要不充分条件；若 ，则叫做的充要条件；若 ，则叫做的既不充分也不必要条件； 7．命题判断法 ：设“若则”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则是的 条件；(2)原命题为假，逆命题为真时是的 条件；(3)原命题与逆命题都为真时，是的 条件；(4) 原命题与逆命题都为假时，是的 条件. 8．集合判断法：从集合的观点看，建立命题相应的集合：成立，成立，那么：(1)若，则是的 条件，若时，则是的 条件；(2) 若，则是的 条件，若时，则是的 条件；(3)若，则是的 条件，若且时，则是的　　　　条件. [典例精析] 例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。 （1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：，方程无实根（4）（5）人类在2020年登上火星. 例2．写出“若或，则”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判其真假。 ［警示］要注意否命题与命题否定的区别。否命题是同时否定命题的条件和结论所得到的新命题，而命题的否定是否定命题的的结论后所得到的新命题。还应注意一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 有 是 都是 全是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 无 不是 不都是 不全是 正面词语 任意的 任意两个 至少有一个 至多有一个 所有的 至多有个 或 否定词语 某个 某两个 一个也没有 至少有两个 某些 至少有个 且 ［变式训练］2．（07年全国100所名校）命题“所有的奇数的立方是奇数”的否定是　　　　　.3．（05江苏卷）命题“若，则”的否命题是　　　　　. 例3．（06年上海卷）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 例4．已知，求证：，，三式中至少有一个不大于. 例5．求关于的方程 的两个实根都大于1的充要条件。 例6．已知数列{} 、{}、{}，其中{} 、{}是等比数列.对于任意正整数，、、都成等差数列，且.试证明：“数列{}成等比数列”的充要条件是“数列{} 与{}公比相等”. 7.证明：方程有两个同号不相等实根的充要条件是. 例7. 设命题;命题,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围. 8．已知条件；条件，试问是的什么条件？ 例8. 已知集合，. （1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件； （2）求实数的一个值，使它成为的