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专题六 平面向量 平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法．在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考查外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查．本章应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用． §6－1 向量的概念与运算 【知识要点】 1．向量的有关概念与表示 (1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量，a，b，c． 自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量． (2)向量的模：向量的长度，记作：,． 向量的夹角：两个非零向量a，b，作，则∠AOB称为向量a，b的夹角，记作：a，b 零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0． 单位向量：模为1，方向任意的向量，与a共线的单位向量是：． (3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量． 相反向量：长度相等，方向相反的向量． 向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量，记作a∥b． 向量垂直：a，b＝90°时，向量a与b垂直，规定：0与任意向量垂直． 2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律) (1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法4则． (2)减法：三角形法则． (3)数乘：记作：λa． 它的长度是：|λa|＝|λ|·|a|． 它的方向：(1)当λ0时，λa与a同向． (2)当λ＜0时，λa与a反向． (3)当λ＝0时，λa＝0． (4)数量积： ①定义：a·b＝|a||b|cosa，b 其物理背景是力在位移方向所做的功． ②运算律：(交换律)a·b＝b·a． (实数的结合律)λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． (分配律)(a＋b)·c＝a·c＋b·c． ③性质：设a，b是非零向量，则： a·b＝0a⊥b． a与b同向时，a·b＝|a|·|b|． a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|． 特殊地：或． 夹角：． |a·b|≤|a||b|． 3．向量的坐标运算 若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． (2)减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2)． (3)数乘：λa＝(λx1，λy1)． (4)数量积：a·b＝x1x2＋y1y2． (5)若a＝(x，y)，则|a|＝． (6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则． (7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则． (8)a在b方向上的正射影的数量为． 4．重要定理： (1)平行向量基本定理： 若a＝λb，则a∥b，反之：若a∥b，且b≠0，则存在唯一的实数λ使得a＝λb． (2)平面向量基本定理： 如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2使a＝a1 e1＋a2 e2． (3)向量共线和垂直的充要条件： 若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a∥bx1y2－x2y1＝0，a⊥bx1x2＋y1y2＝0． (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b 【复习要求】 1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用； 2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题； 3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题． 【例题分析】 例1 判断下列命题的真假： (1)向量a、b平行，则a与b的方向相同或相反； (2)非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线； (3)平行四边形ABCD中，； (4)若a∥b，b∥c，则a∥c． 【分析】(1)假命题．非零的平行向量的方向可以相同或相反，但零向量与任意向量平行，而且规定零向量的方向任意； (2)假命题．我们研究的向量是自由向量，可以在平面(空间)内平移，只要向量能够平移到一条直线上就是平行向量，与平面几何中的平行定义不同； (3)假命题．正确的应该为； (4)假命题．若b＝0，则向量的平行性就不能传递． 解答：都是假命题． 例2 向量a、b、c是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b·c)a－(c·a)b与c垂直； (2)若a·c＝b·c，则a＝b； (3)(a·b)c＝a(b·c)； (4)a·b≤|a|·|b| A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】(1)真命题．注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b·c)a—(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·