西安交大复变函数课件-留数在定积分计算上的应用.pptVIP

第三节 留数在定积分计算上的应用 一、形如 的积分 形如 二、形如 的积分 三、形如 的积分 四、小结与思考 * 一、形如 的积分 二、形如 的积分 三、形如 的积分 四、小结与思考 思想方法 : 封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化 把定积分化为一个复变函数沿某条 当 历经变程 时, 的 正方向绕行一周. z 沿单位圆周 z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 . 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点. 例1 计算积分 解 则 例2 计算 解 令 极点为 : (在单位圆内) (在单位圆外) 例3 解 故积分有意义. 因此 若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次, 并且分母在实轴上无孤立奇点. 一般设 分析 可先讨论 最后令 即可 . 2. 积分区域的转化: 取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间 一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有 限孤立奇点外处处解析. (此法常称为“围道积分法”) 1. 被积函数的转化: (当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x)) 可取 f(z)=R(z) . x y . . 这里可补线 (以原点为中心 , R为半径 的在上半平面的半圆周) 与 一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其 内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点 都包在这积分路线内. 根据留数定理得 : 当 充分大时, 总可使 例4 计算积分 解 在上半平面有二级极点 一级极点 x y . . 积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次 数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上 无孤立奇点. 与 曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点 包在这积分路线内 . 同前一型: 补线 一起构成封闭 都 对于充分大的 , 且 时, 有 从而 由留数定理: 例5 计算积分 解 在上半平面只有二级极点 又 注意 以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴 上无孤立奇点. 例6 计算积分 分析 因 在实轴上有一级极点 应使封闭路 线不经过奇点, 所以可取图示路线: 解 封闭曲线C: 由柯西-古萨定理得: 由