离散数学课件 第四章 函数节.pptVIP

4-1 函数的概念 定义4-1.1 设f是集合A到B的关系，如果对每个x∈A，都存在惟一的y∈B，使得x,y∈f，则称关系f为A到B的函数(Function)(或映射(Mapping))，记为f:A→B。 若x,y?f ，则x称为自变元或象源，y称为在f作用下x的象， x,y?f记作y=f(x)。 A为函数f的定义域，记为domf=A；f(A)为函数f的值域，记为ranf。 设A={1,2,3,4},B={a,b,c,d}，试判断下列关系哪些是函数。如果是函数，请写出它的值域。 （1）f1={1,a,2,a,3,d,4,c}； （2）f2={1,a,2,a,2,d,3,d,4,c}； （3）f3={1,a,2,b,3,d,4,c}； （4）f4={2,b,3,d,4,c}。 （1）在f1中，因为A中每个元素都有唯一的象和它对应，所以f1是函数。其值域是A中每个元素的象的集合，即ranf1={a,c,d}； （2）在f2中，因为元素2有两个不同的象a和d，与象的唯一性矛盾，所以f2不是函数； （3）在f3中，因为A中每个元素都有唯一的象和它对应，所以f3是函数。其值域是A中每个元素的象的集合，即ranf3={a,b,c,d}； （4）在f4中，因为元素1没有象，所以f4不是函数。 函数相等 定义4-1.2 设有函数f: A?B 和g: C?D，如果A=C，B=D，并且任意的a ? A (或a ? C)，都有f(a)=g(a), 则称函数f 和g相等, 记作 f = g。 例如： f : I→I , f (x) = x2 ； g : {1,2,3}→I ,g (x) = x2 是两个不同的函数。 集合A到集合B的函数的个数 思考：给定有限集合A和B, 从A到B共有 2|A|?|B| = 2n?m个不同的二元关系, 但并非每个关系都是函数, 那么究竟有多少个关系是函数呢？ 特殊函数 定义：设f是从X到Y的函数。 a)若f(X)=Y,那么称为满射,即 ?y?Y,?x?X,使f(x)=y. b)若?x1,x2?X,x1?x2?f(x1)?f(x2) (即若f(x1)=f(x2) ?x1=x2), 那么称f是入射（或单射）。 c)若f既是满射，又是入射，则称f是双射或称一一映射。 特殊函数图解 特殊函数举例 例：设f:R?R,f(x)=(b-a)x+a,试问f是什么函数(a?b)？ 特殊函数举例（续） 设有函数 ① g: N?N, g (i) = 2i ② f: N?N, f(n) = ? ? , ? ?表示 n 开平方后取算术根的整数部分, 问f、g分别是什么函数？ 定理4-1.1：若X和Y是有限集，且∣X∣=∣Y∣，则f为单射?f为满射。 证明：(?)设f不满射，因为X和Y是有限集， 所以∣Y∣∣f(X)∣ 又因为f单射，所以∣X∣= ∣f(X)∣ ∴∣Y∣∣X∣， 这与前提矛盾， 故假设不成立，故f为满射。 (?)设f不单射，因为X和Y是有限集， 所以∣X∣∣f(X)∣ 又因为f满射，所以|f(X)|=|Y|, ∴∣X∣∣Y∣，这与前提矛盾， 故假设不成立，故为单射。 入射、满射证明方法 证明 f:A-B满射 任取y?B，推出必?x?A,使得f(x)=y. 证明 f:A-B单射 法(1): 任取x,y?A,设x?y,推出f(x)?f(y); 法(2): 任取x,y?A,设f(x)=f(y),推出x=y; 例：设 f:A?B, G:B?ρ(A),?b?B,G(b)={x?x?A∧f(x)=b} ①试证：若f是满射，则G是入射。 ②其逆成立吗？ 4-2 逆函数和复合函数 对于关系R，把每个序偶的第一元素和第二元素颠倒顺序后得到其逆关系Rc。对于函数，源和象颠倒后是否还是函数，要做一些限制。 定理4-2.1 设f:X→Y是一个双射函数，那么fc为Y→X的双射函数。 Ⅱ）证明fc是满射。 ?x?X,必然?y使得x,y?f,即y,x?fc, ∴fc 是满射。 Ⅲ）证明fc是单射。 ?y1,y2?Y,y1?y2,∵f为满射， ∴必然?x1,x2，使得f(x1)=y1,f(x2)=y2。 ∵f为函数， y1?y2 ∴x1?x2 即?y1,y2?Y,若y1?y2,必有fc(y1)=x1?x2=fc(y2) ∴fc是单射。 定义4-2.1 设f:X→Y是一个双射函数，称 Y→X的双射函数fC为f的逆函数，记为f-1 。 定义4