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古希腊的科学和技术 泰勒斯 生平与故事 发现了几个定理 (1)对顶角相等。 (2)等腰三角形的两底角相等。 (3)两三角形若有一内角及夹此角之两边分别对应相等，则两三角形全等。 (4)两三角形若有二内角及此两角所夹之一边分别对应相等时，则两三角形全等。 (5)在圆上一点，连直径之两端所成之二弦互相垂直。 定理的运用 利用定理(3)，测量两点间，隔有山或池塘而无法直接量的距离。 利用定理(4)，从岸上一点 A 欲测河中一船 C 的位置 毕达哥拉斯 线段的特征及其可公度性 毕达哥拉斯定理 音乐的数学原理 乐音的弦长成为简单的整数比，例如两弦长之比为 2:1 时，恰为八度音程；比例为 3:2 时，为五度音程；比例为 4:3 时，为四度音程（毕氏音律） 万有皆整数与调和！(All is whole number and harmony) 长方形面及公式 不可公度线段的发现及其意义 优多克索（Eudoxus, 西元前408～355）创立比例论（解决不可共度的情形）；修补漏洞 欧几里得（Euclid, 西元前300）建立公理化的欧氏几何。另起炉灶，重建几何学。 阿基米德 杠杆原理 浮力定律 一些求面积和体积的方法和公式 用杠杆原理发现一些旋转体的体积 ：比如抛物线旋转体 抛物线 x=y2，绕着 x 轴旋转 这样便可以得出抛物线旋转体的体积为等底等高的圆柱体体积的一半。 T 是 OU 之上的任意点，我们的平面在 T 点和 x 轴相交，那么这个平面这时候在圆柱体的横截面的半径是 TW，在抛物线旋转体的横截面的半径是 TV。 圆柱容球 用一根长为球直径2倍的长杆，即为4r的杆，确定一个支点N。将杆的中点支于支点。两端点设为S、T。NT的中点为O。以O为心，以球半径r为半径画圆，并画圆的外切正方形及等腰三角形NBC，使∠CNT=∠BNT=45°。这图形绕ST旋转得到球、圆柱和圆锥。 在离支点x处切一铅直狭条，宽度记为Δx。旋转后得到的是厚为Δx的圆盘。这些薄片体积的近似值分别是： 球部分：πx(2r-x) Δx， 圆柱部分：πr2Δx， 圆锥部分：πx2Δx。 阿基米德将从球和圆锥割出的两个薄片吊在端点T，它们的合力矩（重力×重力臂）为 2r[πx(2r-x)Δx+πx2Δx]=4πr2xΔx =4x·(πr2Δx) 这正好是圆柱部分薄片吊在原处力矩x·πr2Δx的4倍。把从N到T所有割出的薄片加在一起，将球和圆锥用绳子吊在S点，其力臂是2r，把圆柱的重心吊在O点，它的力臂是r。它们的力矩也应满足4倍关系，即球和圆锥吊在S点与4个圆柱吊在O点杠杆平衡，于是 2r(球体积+圆锥体积)=4r(圆柱体积)。 利用归谬法进行科学的论证 Eratosthenes 生平：c.276 BC - c.194 BC ；馆长 埃拉托色尼筛选法”（the Sieve of Eratosthenes） 测量地球的周长 埃拉托色尼还测出了黄赤交角为 23度22分 欧几里德的《几何原本》 五条几何公理 1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。 2.线段(有限直线)可以任意地延长。 3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。 4.凡是直角都相等(角公理)。 5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角， 则两直线作延长时在此侧会相交。 五条一般公理 1.跟同一个量相等的两个量相等；即若 a=c 且 b=c，则 a = b（等量代换公理）。 2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，则 a+c = b+d（等量加法公理）。 3.等量减等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，则 a-c = b-d（等量减法公理）。 4.完全迭合的两个图形是全等的（移形迭合公理）。 5.全量大于分量，即 a+ba（全量大于分量公理）。 23 个定义 事实上，欧氏《几何原本》开宗明义是由23个定义出发，接着才是十条几何公理与一般公理。在23个定义中，首六个特别值得提出来讨论： 1.点是没有部分的(A point is that which has no part.) 点只占有位置而没有大小，即点的长度 d=0。这是修正毕氏学派”dc”的失败而得到的。然而，在谈论线段的长度时，欧氏直接诉诸于常识，根本不用这个定义，避开了”由没有长度的点累积成有长度的线段”之困局。 2.线段只有长度而没有宽度(A line is breadless length.)。 3.线的极端是点(The extremities of a line are points.) 这表示线段是由点组成的并且线段只有长度而没有面积。 4.直线是其组成点，均匀