高中導数经典知识点及例题讲解.docVIP

§ 1.1　变化率与导数 1.1.1　变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx＝x－x0，则＝________，表示函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率. 名师讲解 1.如何理解Δx，Δy的含义 Δx表示自变量x的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy表示函数值的改变量，即Δy＝f(x2)－f(x1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率＝. 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，]上的平均变化率为＝. 在平均变化率的意义中，f(x2)－f(x1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx＝x2－x1≠0. 题型一　求函数的平均变化率 例1　一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度． 分析　t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商就可以得到平均速度． 解　(1)由于v＝＝＝3－t. ∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度． (2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1 ∴＝＝＝2. ∴从t＝0到t＝1的平均速度为2. 误区警示　本题?1?不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零. 变式训练1　已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝(　　) A．3　　　　　　　 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2 D．3－Δx 解析　Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx. ∴＝＝－Δx＋3 答案　D 题型二　平均变化率的快慢比较 例2　求正弦函数y＝sinx在0到之间及到之间的平均变化率．并比较大小． 分析　用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小． 解　设y＝sinx在0到之间的变化率为k1，则 k1＝＝. y＝sinx在到之间的平均变化率为k2， 则k2＝＝＝. ∵k1－k2＝－＝0， ∴k1k2. 答：函数y＝sinx在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且. 变式训练2　试比较余弦函数y＝cosx在0到之间和到之间的平均变化率的大小． 解　设函数y＝cosx在0到之间的平均变化率是k1，则k1＝＝－. 函数y＝cosx在到之间的平均变化率是k2， 则k2＝＝－. ∵k1－k2＝－－(－)＝0， ∴k1k2. ∴函数y＝cosx在0到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率． 题型三　平均变化率的应用 例3　已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度． 分析　由物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→ 解　物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量 Δs＝s(1＋Δt)－s(1) ＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt)2＋4Δt. 物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为 ＝＝4＋Δt. 变式训练3　一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围． 解　质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为 ＝ ＝ ＝＝4＋Δt. 又≤5，∴4＋Δt≤5. ∴Δt≤1，又Δt0， ∴Δt的取值范围为(0,1]. § 1.1　函数的单调性与极值 1.1.2　导数的概念 1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景． 2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数． 3．掌握函数f(x)在某一点x0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x0处的导数. 1.瞬时速度． 设物体的运动方程为S＝S(t)，如果一个物体在时刻t0时位于S(t0)，在时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位置增量是ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)．那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比，就是这段时间内物体的________，