线性代数正交向量.ppt

向量的内积、长度及正交性 上页 下页 铃 结束 返回 首页 本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵的相似对角化和二次型的化简问题? 其中涉及向量的内积、长度及正交等知识? 本节先介绍这些知识? 上页 下页 铃 结束 返回 首页 向量的内积 设有n维向量x?(x1? x2? ? ? ?? xn)T? y?(y1? y2? ? ? ?? yn)T? 令 [x? y]?x1y1?x2y2? ? ? ? ?xnyn? [x? y]称为向量x与y的内积? 说明? 内积是两个向量之间的一种运算? 其结果是一个实数? 用矩阵记号表示? 当x与y都是列向量时? 有 [x? y]?xTy? 下页 向量的内积 设有n维向量x?(x1? x2? ? ? ?? xn)T? y?(y1? y2? ? ? ?? yn)T? 令 [x? y]?x1y1?x2y2? ? ? ? ?xnyn? [x? y]称为向量x与y的内积? 内积的性质 设x? y? z为n维向量? ?为实数? 则 (1)[x? y]?[y? x]? (2)[?x? y]??[x? y]? (3)[x?y? z]?[x? z]?[y? z]? (4)当x?0时? [x? x]?0? 当x?0时? [x? x]?0? (5)[x? y]2?[x? x][y? y]? ——施瓦茨不等式? 下页 向量的长度 令 ||x||称为n维向量x的长度(或范数)? 向量的长度的性质 设x? y为n维向量? ?为实数? 则 (1)非负性? 当x?0时? ||x||?0? 当x?0时? ||x||?0? (2)齐次性? ||?x||??||x||? (3)三角不等式? ||x?y||?||x||?||y||? 下页 三角不等式 ||x?y||?||x||?||y|| 的证明? 因为 ?||x||2?2||x||?||y||?||y||2 即 ||x?y||?||x||?||y||? ?(||x||?||y||)2? 由施瓦茨不等式? 有 ||x?y||2?[x?y? x?y] ?[x? x]?2[x? y]?[y? y]? 返回 解 向量间的夹角 称为n维向量x与y的夹角? 当x?0? y?0时? 向量间的夹角 称为n维向量x与y的夹角? 当x?0? y?0时? 当[x? y]?0时? 称向量x与y正交? 显然? 若x?0? 则x与任何向量都正交? 下页 　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 向量间的夹角 称为n维向量x与y的夹角? 当x?0? y?0时? 当[x? y]?0时? 称向量x与y正交? 显然? 若x?0? 则x与任何向量都正交? 定理1 若n维向量a1? a2? ? ? ?? ar是一组两两正交的非零向量? 则a1? a2? ? ? ?? ar线性无关? 下页 定理1 若n维向量a1? a2? ? ? ?? ar是一组两两正交的非零向量? 则a1? a2? ? ? ?? ar线性无关? 设有?1? ?2? ? ? ?? ?r? 使 ?1a1??2a2? ? ? ? ??rar?0? 以a1T左乘上式两端? 得 ?1a1Ta1?0? 因a1?0? 故a1Ta1?||a1||2?0? 从而必有?1?0? 类似可证?2??3? ? ? ???r?0? 因此? 向量组a1? a2? ? ? ?? ar线性无关? 证明 返回 例1 已知3维向量空间R3中两个向量 a1?(1? 1? 1)T? a2?(1? ?2? 1)T 正交? 试求一个非零向量a3使a1? a2? a3两两正交? 解 设a3?(x1? x2? x3)T? 则a3应满足 a1Ta3?0? a2Ta3?0? 即a3应满足齐次线性方程组 取a3?(?1? 0? 1)T即合所求? 得基础解系(?1? 0? 1)T? 下页 注? 当||x||?1时? 称x为单位向量?