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一、空间曲线的切线与法平面 1. 曲线方程为参数方程的情况 或 法平面方程 切平面方程 特别, 当光滑曲面? 的方程为显式 法向量的方向余弦： 内容小结 2) 一般式情况. 2. 曲面的切平面与法线 2) 显式情况. 2. 设 f ( u ) 可微, 备用题1. 证明曲面 2. 求曲线 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 第八章 山东交通学院高等数学教研室 第六节 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 点法式可建立曲线的法平面方程 利用 点向式可建立曲线的切线方程 设空间曲线 的参数方程为： (1) 假设 (1) 的三个函数都在 上可导， 在 上取对应于 的一点 及对应于 的邻近一点 则得曲线 ? 在点 M 处的 法平面方程 切线方程 当 沿 趋于 时， 割线的极限位置 就是曲线 在点 处的切线 用 除上式各分母得 令 趋于 （此时 ） 切线的方向向量称为曲线的切向量. 就是曲线 在点M处的一个切向量. 所以 例1. 求曲线 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： 点(1, 1, 1) 对应于 故点M 处的切向量为 因此所求切线方程为 法平面方程为 即 取x为参数，则可表为参数方程的形式 若空间曲线 的方程为 法平面方程为 切线方程 例2. 求曲线 在 处的切线 和法平面方程。 解： 两个方程左右两端分别对 x 求导得， 所以切向量 切线： 法平面： 即 2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 曲线上一点 , 且有 ? 可表示为 处的切向量为 则在点 切线方程 法平面方程 有 例3. 求曲线 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解 方程组两边对 x 求导, 得 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量 解得 切线方程 法平面方程 即 点 M (1,–2, 1) 处的切向量 二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 对应点 M, 切线方程为 不全为0 . 则 ? 在 且 点 M 的切向量为 任意引一条光滑曲线 下面证明: 此平面称为 ? 在该点的切平面. ? 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 证: 在 ? 上, 得 令 由于曲线 ? 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量 的平面上 , 从而切平面存在 . 曲面 ? 在点 M 的法向量: 法线方程 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 ? 在点 M 的法线. 曲面 时, 则在点 故当函数 法线方程 令 在点 有连续偏导数时, 切平面方程 法向量 例4. 求球面 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 例5. 求曲面 在点(2 , 1 , 4) 处的切 平面及法线方程. 解: 所以曲面在点 (2, 1 , 4) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 法向量 用 将 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为 则 向上, 复习 1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程 法平面方程 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 切向量 切线方程 法平面方程 空间光滑曲线 切向量 空间光滑曲面 曲面 ? 在点 法线方程 1) 隐式情况 . 的法向量 切平面方程 空间光滑曲面 切平面方程 法线方程 法线的方向余弦 法向量 作业 P45 1，4，5, 8 思考与练习 1. 如果平面 与椭球面 相切, 提示: 设切点为 则 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上) 证明 曲面 上任一点处的 切平面都通过原点. 提示: 在曲面上任意取一点 则通过此 第七节 证明原点坐标满足上述方程 . 点的切平面为 与定直线平行, 证: 曲面上任一点的法向量 取定直线的方向向量为 则 (定向量) 故结论成立 . 的所有切平面恒