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轴对称性质的运用 教学目标：（1）已知直线同侧两点Ａ、Ｂ，会在直线上求一点Ｐ，使ＰＡ＋ＰＢ的距离最短。 已知直线异侧两点Ａ、Ｂ，会在直线上求一点Ｐ，使ＰＡ＋ＰＢ的距离最短。 经历探索轴对称性质简单的应用过程。 在分析和解决问题中获得成功的体验。 教学重点：轴对称性质的应用。 教学难点：已知直线异侧两点Ａ、Ｂ，会在直线上求一点Ｐ，使ＰＡ＋ＰＢ的距离最短。 教学过程：一、设置情境，导入新课 问题１：如图，要在燃气管道Ｌ上修一个泵站，分别向Ａ、Ｂ两地供气，泵站修在管道的什么位置，可使用的输气管线最短？你能解决这些问题吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　·Ｂ 　　　　　　　　　　　　　Ａ· 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｌ 生活中干什么事，同学们都喜欢走近道，从家到学校，走大路较远，只能走近道，这样可节省时间，又能少消耗体力，怎样的道最近呢？你能说出来吗？ 师生互动，深入理解。 如果从家到学校有一条直道，就方便一点，下面就这个简单的问题探索一下。 问题２、点ＡＢ分别在直线Ｌ的两侧，现要求在直线Ｌ上求一点Ｐ，使得ＰＡ＋ＰＢ的值最小。 　　　分析：用运动的观点来考察点Ｐ，当点Ｐ从左向右运动时，ＰＡ＋ＰＢ的值逐渐减小，到Ａ、Ｐ、Ｂ在同一直线上时，达到最小，之后又逐渐增大，因此，只要连接ＡＢ交直线Ｌ于点Ｐ。则点Ｐ就是所求的点。（提问：利用的数学根据是什么？） A 下面结合上题讨论设置题目１ 引导学生进行问题的转化：设想，如果把问题１能转化为问题2，那就轻松多了。如下图，如果能在直线Ｌ的另一侧线到一个点Ａ代替点Ａ，即对于直线Ｃ上任意一点Ｐ，都有ＰＡ＝ＰＡ1。 　 　　　图1　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　图3 如图，如果对于直线Ｌ上任意一点Ｐ，都有ＰＡ＝ＰＡ1，此时Ｌ就变成线段ＡＡ1的垂直平分线，也就是说，可以用点Ａ关于直线Ｃ的对称点Ａ1、Ｂ的问题就转化为问题1的情况。 如图只要作点Ａ关于直线Ｌ的对称点Ａ1，连接Ａ1Ｂ交直线Ｌ于点Ｐ，则点Ｐ就是所求作的点。 通过上面的分析，运用转化的思想去处理问题，学会探索一般与特殊，复杂与简单之间的联系。（结合课本说明ＰＡ＋ＰＢ的值最小） 巩固深入，拓展提高。 已知，如图，Ｂ村和Ｄ村在河的同侧，现在要在河岸Ｌ上修一个水电站，使得水电站到Ｂ、Ｄ两村的路线之和最短，请在图中作出水电站的具体位置。 　　如图作点Ｂ关于Ｌ的对称点Ｂ1，连接ＤＢ1， 交直线Ｌ于点Ｐ，点Ｐ就是水电站的位置。　　　 2、试说明ＰＢ＋ＰＤ的值最小，如图Ｑ是Ｌ 上任意一点，由三角形中任意两边的和大于第三边知， ＱＢ＋ＱＤPB+PD,所以ＰＢ＋ＰＤ最小。 课堂总结。 本节的关键点在什么地方？ 点Ａ、Ｂ位于Ｌ的同侧和异侧，如问在Ｌ上找一点Ｐ使ＰＡ＋ＰＢ最小。 展开想象，联系与本节有关的其它问题，写出来讨论 板书设计 讨论Ａ、Ｂ在直线Ｌ两侧，连接ＡＢ交Ｌ于点Ｐ，则ＰＡ＋ＰＢ的值最小。 　　（二）Ａ、Ｂ在Ｌ的同侧，作点Ａ关于Ｌ的对称点Ａ1，连接Ａ1Ｂ交Ｌ于点Ｐ，则ＰＡ＋ＰＢ的值最小。 作业设置： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ是直线Ｌ上一点，Ｂ是直线Ｌ外一点，在直线Ｌ上求作点Ｐ，使得ＰＡ＋ＰＢ的值最小，则这点Ｐ（　） 在Ａ的右边　在Ａ的左边　与Ａ重合　是Ｌ上的任一点 Ｍ是直线Ｌ上一点，是直线Ｌ外一点，在直线Ｌ上求一点Ｐ使ＰＭ一ＰＮ　的值最大，则这点Ｐ（　） 与Ｍ重合　在Ｍ的右边　在Ｍ的左边　是Ｌ上任一点 如图，Ｐ是ＡＯＢ的内部一点，在身线ＯＡ、ＯＢ上各求作点Ｍ、Ｎ，使得　ＰＭＮ的周长最短。 ·Ａ AＡ Ｌ Ｌ · B B Ｌ Ｂ Ｂ Ａ Ａ Ｂ Ｄ Ｐ Ｌ Ｑ Ｂ1 Ａ Ｂ Ａ Ｐ Ｑ Ｌ Ｌ Ｂ Ａ1 Ｏ Ａ ·Ｐ Ｂ