12行列式性质讲解.ppt

第一章 行列式 * 复习：行列式定义 从理论上说，利用定义可求任一行列式的值,但对n阶行列式，要作n!－1次加减法，每项要作n－1次乘法，总共作n!(n－1)次乘法。 如n＝5，需119次减法，480次乘法。故高于3阶的行列式常利用性质转化为特殊行列式再计算. 1.2 行列式的性质 称为D的转置行列式 transpose D中的aij在DT中的位置: 即:D与DT互为转置行列式。 j行i列 (DT)T＝ D 性质1: 行列式与其转置行列式的值相等. 即: 注:这里行列式的值相等; 而(DT)T＝D形式也相同. 该性质由行列式定义易理解、证明。 由此，行列式的行和列地位相同， 故对行成立的性质对列也成立。 D＝DT 性质2: 互换行列式的两行(列),行列式变号. 证:左一般项 其n个元素也是右行列式不同行不同列元素,符号: i行 i行 s行 s行 性质3: 注: 常以ri表示行列式的第i行 (row), 以ci表示行列式的第i列 (column). 记号: 推论:两行(列)完全相同, 行列式值为零. 即:行列式任一行(列)的公因子可提到行列式之外. 或：用常数k乘行列式任意一行(列)的诸元素,等于用k乘这个行列式. (由行列式定义易证) ∵D＝－D 记号: 推论: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式等于零. 性质4: 注:性质3,性质4又称为线性性质 即:行列式某行(列)所有元素均为两数之和，则行列式可写为两行列式之和. (由行列式定义易证) 性质5: 行列式中某行(列)元素的k倍加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变. 记号: (右 左) 该性质用得较多，它使行列式在等值变形前提下出现零元素，便于计算。 性质4 性质3推论 例1 ＝－40 ? ！ 例2. 解方程 [分析]n－1次方程!关键是计算左边的n阶行列式. (注：该行列式第一列元素均相同，第一行元素与其它行元素除对角线上的元素外对应相同) 首行乘以-1加到下面各行，即化为上三角形. 解 原方程为: 是原n－1次方程的n －1个根. 例3. 计算n阶行列式 ＝a1(a1－x)(a2－x)…(an-2－x)(an-1－x) a1(a1－x)(a2－x)…(an-2－x)(an-1－x)＝0 故 x1＝a1， x2＝ a2，… ， xn-2＝ an-2，xn-1＝ an-1 行和相同 [分析]若a11＝a，题型同上例. 这里a11不与该列其它元素相同，而与主对角线上其它元素相同! 每行元素之和相同！ 将第2——n列加至首列,则首列元素均相同, 转化为上例题型. 解： ＝[ x＋(n－1)a ](x－a)n-1 例4(箭形行列式) 解 计算有的行列式可利用性质化为“箭形行列式”，然后再化为上三角形行列式. 例5 计算 解: (注:首行乘以(-1)加至下各行，如此下去亦可成功) ＝a4 D 例6. 设 , 求 解 ＝30 例7. 计算行列式 [分析] n阶数字行列式. 根据其数字排列规律,考虑利用第2行所有元素均为2这一特点作变形. 解 ＝-(n－2)!·2 由定义亦可得结论 例7. 计算行列式 [分析] n阶数字行列式. 根据其数字排列规律,考虑利用第3行所有元素均为3这一特点作变形. 解 ＝(n－3)!·6 由定义亦可得结论 例8. 证明奇数阶反对称行列式的值为0 [注] 对称行列式：满足aij＝aji ； 反对称行列式：满足aij＝-aji 证：设 则由行列式性质1及性质3，有： aii＝－aii aii＝0