在发明中学习-----线代数概念的引入.pptVIP

随风潜入夜:知识的引入 之一、线性方程组的解法 加减消去法?方程的线性组合 ? 原方程组的解是新方程的解 是否有“增根”？ ? 互为线性组合:等价变形 ? 初等变换 ? 高斯消去法 只用到系数的运算? 行向量表示方程?数组向量 矩阵表示方程组?矩阵的初等变换 只用到系数的加减乘除?数域 之二、线性相关与线性无关 一、方程个数的真与假 方程组 有几个方程？ 3个? 2个? (3) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w = (1,-3,6). 方程组 λ1 u+ λ2 v = w无解。 还需解 λ1 u+ λ3 w = v, 仍无解。 还需解 λ2 v + λ3 w = u, 仍无解。 解三个方程太繁琐！ 只须解一个方程 λ1 u+ λ2 v+ λ3 w = 0 有(无)非零解??线性相(无)关 对任意向量 a, b, g λ1 a+ λ2 b+ λ3 g = 0 有(无)非零解??线性相(无)关 当λ3 不为 0, 当λ2不为 0, 当λ1不为 0, 例2. 求方程的实数解 则原方程为: u + v = w 我们有: -7u2+ 4v2 = w2 将原方程代入:-7u2+ 4v2 = (u+v)2 整理得 - 8u2-2uv+3v2 = 0 分解因式得 (v-2u)(3v+4u) = 0 v=2u, 方程组线性相关 ? 有多余的方程（是其余方程的线性组合） 删去多余的方程 ---- 打假 将打假进行到底? 极大线性无关组 剩下的方程的个数---- 秩rank 秩的唯一性 方程组(A1 , A2 , A3) 与(B1 , B2) 互为线性组合 A1= a11B1+a12 B2 A2= a21B1+a22 B2 A3= a31B1+a32 B2 x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 = 0 : (a11x1+a21x2+a31x3)B1+(a12x1+a22x2+a32x3)B2 = 0 未知数个数3 方程个数2 ? 方程组有非零解 (x1, x2, x3) ? A1 , A2 , A3 线性相关. 方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘且满足运算律,证明仍成立 ? 抽象向量空间 四、线性相关(无关)的重要应用  --- 基、坐标与维数 谢谢 ！ * * 在发明中学习 ----- 线性代数 概念的引入 李尚志 中国科学技术大学 某个方程是其余方程的线性组合 ? 线性相关 例1 如下向量 u，v，w 是否共面? (1) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w= (3,2,6). (2) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w= (1,-3,13). (3) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w= (1,-3,6). 有解 λ1 = - 7, λ2 = 4, -7u+4v = w 解 (1) 易见 u+v =w, 这三个向量共面. (2) 解方程组求实数λ1, λ2 使 二、线性相关(无关)的定义 V是数域F上向量空间,u1,…,um 是V中向量. 如果存在 F 中不全为0的数 使 (2.1) 就称向量组 u1,…,um 线性相关. 反之,如果(2.1) 仅当 成立,就称向量组 u1,…,um 线性无关. 可以看成关于未知数 的方程。 方程有(无)非零解 ?? 向量组线性相(无)关 解:令 三、极大线性无关组，秩 在3维几何向量组成的空间V中, 我们取3个不共面的向量α1, α2, α3组成一组基, 将空间中每个向量u唯一地写成α1, α2, α3 的线性组合: α=xα1+yα2+zα3 将3个系数组成的数组(x,y,z)称为α的坐标, 用来代表α. 为什么V中每个向量α都能写成这三个向量α1, α2, α3的线性组合? 为什么系数x,y,z是唯一的? 在任意域F的线性空间V中能否类似地找到一组向量α1, α2,…, αn组成一组基, 使得V中的每个向量α都能唯一地写成这组向量的线性组合, 从而可以将线性组合的系数组成坐标来代表这个向量? 如果能, 这组基α1, α2,…, αn应当满足什么样的条件? 例3 设V是数域F上线性空间, {u1, u2,…, un }是V中的向量组