正弦定理與余弦定理.docVIP

1、利用正弦定理解三角形. 2、利用余弦定理解三角形. 板块一：正弦定理 1、正弦定理 ＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)ab∶c＝sinAsinB∶sinC； (2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： 已知两角及任一边，求其它边或角； 已知两边及一边的对角，求其它边或角． 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c. 解　由正弦定理得＝，＝，∴sin A＝. ∵ab，∴A＝60°或A＝120°. 当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°， c＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°， c＝＝. (课本改编题)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝________. △ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________． (课本精选题)在△ABC中，若A＝60°，a＝，则＝________. 板块二：余弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 余弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 余弦定理可解决两类问题： 已知两边及夹角或两边及一边对角的问题； (2)已知三边问题． 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.求角B的大小； 解　(1)由余弦定理知： cos B＝， cos C＝. 将上式代入＝－得： ·＝－， 整理得：a2＋c2－b2＝－ac. ∴cos B＝＝＝－. ∵B为三角形的内角，∴B＝π. 设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________.　 解析：由3sin A＝5sin B可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t0)，则b＝3t，c＝7t，可得cos C＝＝＝－，故C＝. 若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　) A. B．8－4C．1 D. [解析] 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4. 由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab， 将代入得ab＋2ab＝4，即ab＝.故选A. (1)S＝ah(h表示边a上的高)； (2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 在ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则ABC的面积为________．4已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　) A．2　　　B．8　　　C.　　　D. 1、(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________. 2、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为________． 如图，在ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________． 解析：设BD＝1，则AB＝AD＝，BC＝2.在ABD中，解得sin A＝，在ABC中，由正弦定理＝，得sin C＝. 答案： (2013·南京、盐城一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若cos ＝sin A，求A的值； (2)若cos A＝，4b＝c，求sin B的值． 解：(1)因为cos ＝sin A， 即cos Acos－sin Asin＝sin A， 所以cos A＝sin A. 显然cos A≠0，否则由cos A＝0得sin A＝0，与sin2 A＋cos2 A＝1矛盾，所以tan A＝. 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)因为cos A＝，4b＝c，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝15b2，所以a＝b. 因为cos A＝，所以sin A＝＝. 由正弦定理得＝，所以sin B＝. (2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B (p∈R)，且ac＝b2. (1)当p＝，b＝1时，求a，c的值； (2)若角B为锐角，求p的取值范围．