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第五节 参数估计 统计推断有两大基本问题，一是估计问题，另一个是假设检验问题。本节讨论参数的估计问题。所谓参数估计问题就是利用样本来估计总体分布中的未知参数。 1．点估计 设总体的分布函数的形式已知，但在分布函数中含有一个（或多个）未知的参数，借助于总体的一个样本，选择一个合适的的统计量来估计总体的参数，这种方法称为点估计问题。统计量称为的估计量，若用对应的样本观察值代到统计量中，得到的称为的估计值。注意到统计量是一个随机变量，而估计值是一个数值。下面我们介绍点估计中的矩估计法。 1.1矩估计法 首先介绍几个概念。设为来自总体的一个样本，称 为总体的阶样本矩。称 为总体的阶矩。 所谓矩估计法，是指用样本矩估计总体矩的方法。设总体的概率密度函数中含有个未知参数，令，即 。 （5.1） 其中是未知参数的函数，个未知参数可以通过（5.1）式的个联立方程组解出，用这个方程组的解分别作为的估计量。用矩估计法求出的估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值。 例1 设总体，是来自的一个样本，参数都是未知的，求的矩估计量。 解 令 ， ， 解以上两个方程，得和的矩估计量分别为 ， 。 例2 在某校初三毕业班期末语文测试成绩中随机地抽取9人的成绩，结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 结果 94 89 85 78 75 71 65 63 55 试估计该校初三毕业班语文成绩的平均分数、标准差。 解 设为该校初三毕业班学生的语文成绩 故由（5。1）式可得，的估计量为，所以的估计值为 。 的标准差估计量为，所以的估计值为 。 1.2 判断估计量优劣的标准 (1)无偏性 定义5.1 设是未知参数的估计量，若存在，并且有 则称是的无偏估计量。 例3 设是总体的样本，，则，，都是的无偏估计量： 。 例4 证明：样本均值与样本方差分别是总体的均值和方差的无偏估计。 证明 ， 所以样本均值是总体的均值的无偏估计。 注意到 ，， 则 ， 从而 ， 又 ， 所以有 故样本方差是总体方差的无偏估计。 （2）有效性 定义 5.2 设和是的两个无偏估计量，若 则称比更有效。 有效性可以这样理解，对于未知参数，它的无偏估计量尽管以值都在的真值附近，并且期望都是的真值，但是它们之间还是可能有区别。有的无偏估计量所取的值可能密集在的真值附近，有的则可能稍远一些，即无偏估计量所取的值在的真值附近的密集程度不一样，。而更有效的无偏估计量其在的真值附近密集程度也更好。 例5 对例2中的3个无偏估计量，可计算出它们的方差分别为 ， 显然，当时，，即，和中，以最为有效。 习题五 1．矩估计法的原理是什么？评价点估计量好坏的标准是有哪些？ 2．设随机变量的密度函数为 求未知参数的矩估计量。 3．设总体服从几何分布，其概率分布为 求未知参数的矩估计量。 4．一种钢丝的折断力，从一批钢丝中随机抽取10根，测其折断力，得到如下数据： 572 578 570 568 596 570 572 570 572 584 试求未知参数和的矩估计值。 5．设、为来自正态总体的一个样本，试验证下列三个估计量都是的无偏估计量，并指出哪个更有效？ 6．设总体服从参数为的泊松分布，是的一个样本，证明：对任一值，是的无偏估计量。