第三章立体几何中向量方法(角与距离).docVIP

第三章 立体几何中向量方法 向量基本知识（三）： 1、直线与平面所成角的公式： ； 2、二面角的公式： ； 3、异面直线公垂线距离的公式： ； 4、点到平面的距离的公式： ； 类型一、直线与平面所成的角 例1、在长方体中，，M为上的一点，且，点N在线段上，，求AD与平面AMN所成的角。 类型二、二面角 例2、已知四棱锥，ABCD是一直角梯形，，， ，，求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。  例3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA??⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2?，E，F分别是AD，PC的中点 （Ⅰ）证明：PC??⊥平面BEF； （Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。 （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√??2,四边形ABCD是矩形。 ∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2?√??2,0)，D(0，2?√??2，0)，P(0,0,2) 又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，√??2，0),F(1，√??2，1)。∴=（2，2?√??2，-2）=（-1，√??2，1）=（1,0,1），∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0， ∴⊥，⊥，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF?∩??EF=F,[来源:Zxxk.Com]∴PC⊥平面BEF （II）由（I）知平面BEF的法向量 平面BAP 的法向量 设平面BEF与平面BAP的夹角为?θ?， 则 ∴?θ=45℃， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45 类型三、点到平面的距离 例4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AD，AB的中点，,且，求点B到平面EFG的距离。 例5.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，, , ,为的中点。 （Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。 类型四、异面直线的距离 例6 已知直三棱柱的侧棱，，，E为AB的中点，求CE与的距离。 例6如图，在三棱锥中，，，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． 解： （Ⅰ），， ． 又， ． ， 平面． 平面， ． （Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系． 则． 设． ， ，． 取中点，连结． ，， ，． 是二面角的平面角． ，，， ． 二面角的大小为． （Ⅲ）， 在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系． ， 点的坐标为． ． 点到平面的距离为． x z P B C A P D A C B y H E