空间解析几何-第5章正交变换与仿射变换讲义.pptVIP

§1 变换 §2 平面的正交变换 §3 平面的仿射变换 §4二次曲线的度量分类与仿射分类 §5 空间的正交变换与仿射变换 定理3.4 平面上的任何一个仿射变换可分解为一 个正交变换与一个沿两个互相垂直方向伸缩的乘 积。 证明 任取一直角坐标系,由(3.1)给出的仿射变换 τ把单位圆 变为一个椭圆(图5.3),设它 的中心为O’,而 是两条互相垂直的对称 轴(或主轴),记向量 将它们单位化 我们有仿射坐标系 与直角坐标系 。 又设在τ下, 的原象为 , 即 ,由于椭圆的两条对称轴是互相共 轭的,即每一条对称轴的平行弦中点轨迹沿着另一条 的方向,而仿射变换τ保持共轭性不变(参见下一节), 因此 与 也是单位圆上两个互相垂直的半径向量, 故 为一直角坐标系。利用推论3.1，有 正交变换σ: 伸缩变换α: 因此ασ: 故τ=ασ,即τ分解为正交变换σ与伸缩α的乘 积。 §4 二次曲线的度量分类与仿射分类 在1872年,德国数学家F.Klein提出了按变换群给各种几何学科进行分类的思想,对几何学的研究有很大的影响。对这一思想,我们将作一简单的介绍。以平面上二次曲线为研究对象,说明它在度量几何学(欧几里得几何学)与仿射几何学中各是怎样分类的。 1.变换群与几何学科分类 由§2和§3中我们知道,平面上所有正交变换的集合构成 平面上的一个变换群,称之为平面上的正交群;平面上所有仿 射变换的集合也构成平面上的一个变换群,称之为仿射群. 如果变换群G中的一个子集H也构成一个变换群,则称H为G 的子变换群。由于正交变换也是仿射变换,所以正交群是仿射 群的子变换群。 另外,平面上绕原点的旋转变换的全体也构成群,称为平面上 的旋转群,平面上的刚体运动的全体也构成群,称为平面上的 运动群。以上变换群的关系为 旋转群 运动群 正交群 仿射群。 定义4.1 几何图形在正交变换下的不变性质(或几何量) 称为图形的度量性质(或正交不变量),研究这些性质的几何 学称为度量几何学(即欧几里得几何学);几何图形在仿射变 换下的不变性质(或几何量)称为图形的仿射性质(或仿射不 变量),研究仿射性质的几何学称为仿射几何学。 由于正交群是仿射群的子变换群,所以仿射性质(仿射 不变量)也是度量性质(正交不变量)。但是反之,度量性质不 一定是仿射性质。仿射性质有共线、平行、相交、中心对 称等。度量性质有垂直、轴对称等。仿射不变量有共线三 点的简单比,代数曲线的次数等。正交不变量有两点间的距 离、两向量的夹角、图形的面积以及二次曲线的 等。 一般而言,仿射变换可以改变两点之间的距离、 两直线间的夹角,因此，关于距离、角度等的性质和 不变量就不是仿射性质和仿射不变量。 二次曲线直径的共轭性是仿射性质,理由如下: 首先在仿射变换τ下,二次曲线C的弦变成二次 曲线C’的弦,C的平行弦变成C’的平行弦;C的弦的 中点变成C ’的弦的中点,所以如果l是C的直径,则 τ( )= 是 C的直径。 设 是C的一对共轭直径(此时假设C是中心曲 线), 的方向为 。由于 的方向共轭于 的方向,所以有 设 则有 其中,B是仿射变换τ的系数矩阵。 于是 其中， 是τ(C)=C的二次项Φ(x,y) 的矩阵,即 故 是C的一对共轭直径。 2.二次曲线的度量分类 经过平面上的一个正交变换或仿射变换,平面上的 一个图形变成另一图形,它们之间有什么样的关系呢? 为此给出如下定义。 定义4.2 如果有一个平面的正交变换把 变到 , 那么平面上的图形 称为正交等价的(或度量 等价的),记为 ～ 。 如果有一个平面的仿射变换将