第3章多维随机变量及其分布讲义.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * E(X| Y=y) 是 y 的函数. 注 意 点 所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y). 重期望公式 定理 3.5.1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 3.4.1 多维随机变量函数的数学期望 定理 3.4.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则 E(Z) = E[g(X, Y)] = 例3.4.1 在长为 a 的线段上任取两点 X 与 Y，求两点间的平均长度. 求 E(|X?Y|) 3.4.2 数学期望与方差的运算性质 1. E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2. 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y). 讨论 X+Y 的方差 1. Var(X?Y) = Var(X)+ Var (Y) ?2E[X?E(X)][Y?E(Y)] 3. 当X与Y独立时，E[X?E(X)][Y?E(Y)] = 0. 4. 当X与Y独立时， Var(X ?Y) = Var(X)+ Var (Y) . 2. E[X?E(X)][Y?E(Y)] = E(XY) ? E(X)E(Y) 注意：以上命题反之不成立. 3.4.3 协方差 定义3.4.1 称 Cov(X, Y) = E[X?E(X)][Y?E(Y)] 为 X 与 Y 的协方差. 协方差的性质 (1) Cov(X, Y) = E(XY) ? E(X)E(Y). (2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (3) Var(X?Y) = Var(X)+ Var (Y) ? 2 Cov(X, Y) 注： (7) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (6) Cov(X, a) = 0. (8) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (5) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (4) Cov(X, X) = Var( X). 课堂练习1 X 与 Y 独立，Var(X) = 6，Var(Y) = 3， 则 Var(2X?Y) = ( ). 27 课堂练习2 X ~ P(2)，Y ~ N(?2, 4)， X与Y独立， 则 E( X?Y) = ( ); E( X?Y)2 = ( ). 4 22 解：记 “Xi = 1” = “第 i 个人拿对自己的礼物” “Xi = 0” = “第 i 个人未拿对自己的礼物” 配对模型的数学期望和方差 n 个人、n 件礼物，任意取. X 为拿对自己礼物的人数，求 E(X), Var(X) 则 因为 E(Xi) = 1/n, 所以 E(X) = 1. 又因为 所以 E(XiXj) = 1/[n(n?1)], XiXj P 0 1 1?1/[n(n?1)] 1/[n(n?1)] 由此得 又因为 所以先计算 E(XiXj), XiXj的分布列为 所以 3.4.4 相关系数 定义3.4.2 称 Corr(X, Y) = 为 X 与 Y 的相关系数. 若记 注 意 点 则 相关系数的性质 (1) 施瓦茨不等式 { Cov(X, Y) }2 ? Var(X)Var(Y). (2) ?1 ? Corr(X, Y) ? 1. (3) Corr(X, Y) = ?1 X 与 Y 几乎处处有线性关系。 ? x y x y x y x y Corr(X, Y) 的大小反映了X与Y之间的线性关系的密切程度。 注 意 点 Corr(X, Y) 0， X 与 Y 间 正相关. Corr(X, Y) 0， X 与 Y 间 负相关. Corr(X, Y) = 0， X 与 Y 间 不相关. （没有线性关系） 例3.4.1 设 (X, Y) 的联合分 布列为 X ?1 0 1 Y ?1 0 1 1/8 1/8 1/8