幾何三大问题为尺规作图不能问题的证明.docVIP

几何三大问题为尺规作图不能问题的证明 　　1.立方倍积问题 　　假设已知立方体的棱长为c，所求立方体的棱长为x.按给定的条件，应有 x3=2a3. 　　令a＝1，则上述方程取更简单的形式 x3-2=0. 　　 不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题. 　　2.三等分任意角问题 　　对于已知的锐角∠O=θ，设OP、OS是它的三等分角线. 　　以O为圆心，单位长为半径画弧，交∠O的两边于点A、B，交三等分角线OS于点C.过点C作CD⊥OA，交OA于点D.这样，OS能否用尺规来作出，就等价于点C能否用尺规作出，也就是点D能否用尺规来作出. 　　令OD=x，则有 　　　 4x3-3x-cosθ＝0. 　　如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出，则点D不可得，于是射线OS也就不能作出.欲证明此事，可选一特例考察之. 　　 8x3-6x-1=0. 　　以2x=y代入此方程，可得较简单的形式 y3-3y-1=0. 　　 　　 4x3-3x=0. 　　解之，得 　　 注意，当cosθ取值为无理数时，如θ=30°、45°等，则我们所用的定理2就不再适用了. 　　3.化圆为方问题 　　假设已知圆的半径为r，求作的正方形的边长为x(图7).按条件，应有 x2=πr2. 　　 　 不可作.但π是超越数，自然不是有理系数的代数方程的根，更不是从1出发通过有限次加、减、乘、除及正实数开平方所能表示，即π不能仅用尺规作图来完成，所以化圆为方问题属尺规作图不能问题. 　　 　　 　　 ∵7θ=2π， ∴3θ=2π-4θ， ∴ cos3θ=cos(2π－4θ)＝cos4θ. 　　 8cos4θ-4cos3θ-8cos2θ＋3cosθ＋1= 　　 　　分解因式，得 (x-2)(x3+x2-2x-1)=0. 　　 　　由试验，知±1均不能满足这方程，可见上述三次方程无有理根.于是，运用本书第14页的定理2，可知上述三次方程的任何实根均不能用尺规作图来完成，因而正七边形属于尺规作图不能问题. 　　的作图，而θ=40°角属于尺规作图不能问题(否则，利用作角平分线的办法，可作出20°角，将导致三等分60°角成为可能).所以正九边形也属尺规作图不能问题. 由正七边形和正九边形是尺规作图不能问题，可直接推得边数为2n×7和2n×9(n为正整数)的正多边形也是尺规作图不能问题. 对于尺规作图不能问题，通常还有两种间接判断方法： 1°有的作图问题，经过分析后发现可以归结为已知的作图不能问题，则可断定该问题也属尺规作图不能问题.例如正九边形属尺规作图不能问题的上述证明所采用的方法就是. 2°有时，对问题的一般情形进行讨论既繁且难，而取其特例考察，则简易得多.因此欲决定某题属作图不能问题时，不妨相机证明它的特例不能作图，特例既经证实，一般情形的不能作图便不言而喻了(但特例可行则不等于这问题可作).例如解决三等分角问题时所采用的方法即是.