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曲线积分与曲面积分补充题
曲线积分与曲面积分补充题
1.设有表示曲面: ,表示曲面
.
(1) 求及所围立体的体积；
（2）求被所截部分的表面积；
(3) 求被所截部分的侧面积；
(4) 若表示被所截的部分曲面,求 ；
(5) 若表示被所截的部分曲面,求 ；
(6) 若表示被所截曲面的上侧部分,求 ；
(7) 若表示曲面的交线在第一卦限部分曲线,从轴正向往下看是逆时针;
设力,求该力沿曲线从到所做的功.
(8) 若其他条件同（6）,力为,此时功为多少? 若点为上任一点，功又为多少？
2.(1)设为连续函数,且对任意平面闭曲线都有.
试证:.
(2)设为连续函数,且对任意空间闭曲面都有.
试证:.
(3)设有连续偏导数,且对任意封闭曲线,有.
试证:.
(4)设有连续偏导数,且对任意封闭曲面都有.试证:.
3.设为从点到点的有向光滑曲线弧.函数连续.证明:
; ; .
4.设有向光滑曲线弧在面上的投影曲线为,其正向与的正向相应,且在
光滑曲面上,函数连续.证明:
(1)
(2)
5. 设在内具有连续导数, 求:
，
其中是从点到点的直线段. 答案:-4
6. 设函数具有二阶连续导数.曲线积分
其中为平面上任一简单封闭曲线.
求使.（2）计算沿任一条曲线从到的积分.
答案:
7. 设有连续导数,对平面上任意一条分段光滑曲线,积分
与路径无关.
当时,求
设是从到的分段光滑曲线,求.
答案:
8. 设连续可导,,为不含原点的单连通区域.任取,在内曲线积分与路径无关.
(1) 求; (2) 求,其中为取正向.
答案:.
9. 设为连续函数,为平面上分段光滑闭曲线,证明:
.
10. 设曲线的方向为逆时针,证明:
11. 若对平面上任何简单闭曲线恒有 ,
其中在上有连续的一阶导数,且,试求:
(1) ; (2) .
答案:.
12. 设在圆盘内有二阶连续偏导数,且,
则. (是的外单位法向量).
13. 求 其中是绕原点两周的正向闭曲线. 答案:.
14. 计算.其中是平面
与柱面的交线,从轴正向看是逆时针. 答案:.
15. 已知平面区域,为的边界,试证:
(1). ;
(2). .
16. 确定常数, 使在右半平面上的向量
为某二元函数的梯度,并求. 答案:.
17. 计算,其中取外侧.
答案:.
18. 设有连续导数,计算.
其中是所围立体的外侧. 答案: .
19. 计算曲面积分. 其中是曲线
绕轴旋转一周而成的曲面,其法向量与轴的正向夹角为锐角.
答案:.
20. 求 其中为
绕轴旋转所成的曲面下侧.
答案: .
21. 设为椭球面的上半部分,点,为在点的切
平面,为点到平面的距离.求. 答案: .
22. 设是圆周的正向边界曲线.为大于零的连续函数.证
明:.
23. 设函数具有一阶连续偏导数,且满足,闭曲线C包围原点, 取正向. 证明:
24. 设是球面 (常数).证明:
.
25.计算, 其中
取外侧.
设试计算曲面积分。答案:
1
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