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物理科学学院本科生08——09学年第二学期 理论力学 课程期末考试试卷（A卷） 专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩: 得 分 一 、（本题共20分，每小题5分） 给定点在直角坐标系下的运动规律为：，，，其中，，是长量，则____________。速度的分量为：____________， ____________。加速度的分量为：____________，____________。 如图所示，质量不计的细杆置于平面直角坐标系中，细杆可绕固定点转动，质量不计的细杆平行轴且被限制在只能沿平行轴移动，点处的套环可以在上自由滑动。已知细杆的长度为，细杆到点的距离为，现在细杆的底端加一竖直向上的力，在细杆的点加一垂直细杆向下的力，系统在细杆与轴夹角为处保持静止。忽略所有接触处的摩擦。若假想细杆沿逆时针旋转，细杆沿轴的虚位移为，细杆的虚位移为。系统的虚功的表达式为______________________。根据题意有_____________________，且______________________,_____________________。因此由虚功原理得______________________。 平面内的一形槽其数学表达式为，在槽内有一质量为的质点，其重力势能为，势能函数对求导数，有，对于点有，是否可以由此判断点处的质点的稳定性，其理由为_____________________________ __________________________________________________________________。 摆长为的单摆，如果取摆线与竖直方向的夹角为广义坐标，则该系统的动能 ______________________，势能______________________。由定义得，哈密顿函数______________________（用和表示）。由哈密顿正则方程得______________________（用表示），______________________。 得 分 二 、（本题共15分） 天文学家通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为年。 （1）若将S2星的运行轨道视为半径天文单位的轨道，试估算人马座A*的质量与太阳质量的多少倍（结果保留一位有效数字）； （2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量的粒子具有的势能为（设粒子在黑洞无限远处的势能为零），式中、分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量，光速，太阳质量，太阳半径，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径与太阳半径之比应小于多少（结果保留四舍五入）。 得 分 三 、（本题共15分） 如图所示，质量为和的两质点通过不可伸长的细绳跨接在轻质光滑的滑轮上，由达朗贝尔方程求两质点的加速度。 得 分 四 、（本题共10分） 由泊松定理证明：在保守力场内运动的质点组，若直角坐标系中和方向的两分动量距为常数，则方向分动量矩也一定为常数。 得 分 五 、（本题共20分） 试由哈密顿原理推到正则哈密顿方程 得 分 六 、（本题共20分） 一个系统的拉格朗日函数为。 （1）当，证明 （2）若，为任意值，求取何值时时。 第 5 页 共 5 页 草稿区