天津大学研究生最优化方法复习题.docVIP

《最优化方法》复习题 概述(包括凸规划) 判断与填空题 √ 设 若，对于一切恒有，则称为最优化问题的全局最优解. 设 若，存在的某邻域，使得对一切恒有，则称为最优化问题的严格局部最优解. 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 非空集合为凸集当且仅当中任意两点连线段上任一点属于. √ 非空集合为凸集当且仅当中任意有限个点的凸组合仍属于. √ 任意两个凸集的并集为凸集. 函数为凸集上的凸函数当且仅当为上的凹函数. √ 设为凸集上的可微凸函数，. 则对，有 若是凹函数，则是凸集。 √ 设为由求解的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法，则对，恒有 . 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √ 函数在点沿着迭代方向进行精确一维线有哪些信誉好的足球投注网站的步长，则其有哪些信誉好的足球投注网站公式为 . 函数在点沿着迭代方向进行精确一维线有哪些信誉好的足球投注网站的步长，则 0 . 设为点处关于区域的一个下降方向，则对于，使得 简述题 写出Wolfe-Powell非精确一维线性有哪些信誉好的足球投注网站的公式。 怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如: 判断函数是否为凸函数） 证明题 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如 判断（其中G是正定矩阵）是凸规划. 熟练掌握凸规划的性质及其证明. 线性规划 考虑线性规划问题： 其中， 为给定的数据，且rank 判断与选择题 (LP)的基解个数是有限的. √ 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. √ (LP)的解集是凸的. √ 对于标准型的(LP)，设由单纯形算法产生，则对，有 × 若 为(LP)的最优解， 为(DP)的可行解，则 √ 设是线性规划(LP)对应的基的基可行解，与基变量对应的规范式中，若存在，则线性规划(LP)没有最优解。× 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：____________________. 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降. × 简述题 将以下线性规划问题化为标准型： 写出以下线性规划的对偶线性规划： 计算题 熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M法及二阶段法）. 见书本： 例2.5.1 (利用单纯形表求解); (利用大M法求解); 例2.6.2 (利用二阶段法求解). 证明题 熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。 无约束最优化方法 一、 判断与选择题 设为正定矩阵，则关于共轭的任意向量必线性相关. √ 在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向. × 经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的. × PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法. × 用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关. √ FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性. × 共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性. √ 函数在处的最速下降方向为 . 求解的经典Newton法在处的迭代方向为 . 若在的邻域内具有一阶连续的偏导数且，则为的局部极小点. × 若在的某邻域内具有二阶连续的偏导数且为的严格局部极小点，则正定. × 求解的最速下降法在处的迭代方向为 . 求解的阻尼Newton法在处的迭代方向为 . 用牛顿法求解时，至多迭代一次可达其极小点. × 牛顿法具有二阶收敛性. √ 二次函数的共轭方向法具有二次终止性. × 共轭梯度法的迭代方向为：_____________________. 二、证明题 设为一阶连续可微的凸函数，且，则为的全局极小点. 给定和正定矩阵. 如果为求解的迭代点， 为其迭代方向，且为由精确一维有哪些信誉好的足球投注网站所的步长，则 试证：Newton法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点. 简述题 简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点. 简述共轭梯度法的基本思想. 计算题 利用最优性条件求解无约束最优化问题. 例如：求解 用FR共轭梯度法