复变函数与积分变换A答案重庆大学.docVIP

重庆大学《复变函数与积分变换》课程试卷答案  2012 ~2013学年 第 1 学期 开课学院： 数学学院 课程号 考试日期： 2013.1 考试时间： 120 分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分 一、单项选择题(每小题2分，共20分) 1．若复数，则 【 】 B. C. D. 2．连接与的直线段方程为 【 】 B. C. D. 3．极限的值为 【 】 B. C. 1 D. 不存在 4．设，则下列说法正确的是 【 】 仅在处连续 B. 在处可导 C. 在复平面上处处不可导 D. 至少有一个解析点 5．的值为 【 】 B. C. D. 6．设，则的值为 【 】 B. C. D. 7．积分的值为 【 】 B. C. D. 8．幂级数的收敛半径为 【 】 B. C. D. 9．拉氏变换等于 【 】 B. C. D. 10．设傅氏变换，则等于 【 】 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 1．的指数表达式为 ． 2．方程的所有复数根为 ．　 3．函数在复平面上除去实轴上一区间外是解析的． 4.　　　　0　　　　　　．　　 5．在处展成泰劳级数的收敛半径　　　　2　　　　　． 6．如果为的本性奇点，则在的去心邻域内的罗朗级数含的 无穷多 个负幂项．　 7．是的　　　2　　阶极点． 8．留数　　　　4　　　　　． 9．． 10．设的拉氏变换，则的拉氏变换． 三、计算题 (每小题7分, 共21分) 1．设，求． 解：由柯西积分公式得，当时， ， 故，而在圆盘内．从而 ． 2．利用留数计算积分. 解： 取, 则在上半平面的有限奇点为和，于是 3. 利用拉氏变换求解初值问题： 解：设拉氏变换，对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件得 解得 去逆变换得 四、解答题 (每小题7分, 共21分) 1．设，试讨论在何处可导，何处解析． 解：，， ，于是C-R条件：仅当和时成立．故仅在和处可导，在C上处处不解析． 2．已知调和函数，求其共轭调和函数及解析函数． 解：， ， ，又， ， ， . 3．将在处展开成罗朗级数． 解：（1）当时， ， （2）当时， =． 五、证明题 (8分) 设是自然数，试证： ． 证明：令， 则 ． 令，则，即． 故 =． 比较两边实部和虚部得= 重庆大学试卷 教务处07版 第 1 页 共 4 页 命题人： 组题人： 审题人： 命题时间： 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、