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§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上： ii. 中心在原点，焦点在轴上：.②一般方程：. ③椭圆的标准方程：的参数方程为（一象限应是属于）⑵①顶点：或. ②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长. ③焦点：或. ④焦距：. ⑤准线：或. ⑥离心率：. ⑦焦点半径： i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则 ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右”. 注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. ⑧通：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和 ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 二、双曲线方程. 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：. ⑵①i. 焦点在x轴上： 顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上： 顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或或 . ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程 （分别为双曲线的左、右焦点分别为双曲线的上下焦点） 构成满足 ⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. ⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为. 若P在双曲线，常用结论 1从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b 2：P到焦点的距离为m =n，则P到两准线的距离比为m︰n证： = 三、抛物线方程. . 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 （0，0） 离心率 焦点 顶点. ②则焦点半径;则焦点半径为. ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④（或）的参数方程为（或）（为参数）. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点. （1）求该椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程； （3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。 解：.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为 (2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0), 由 x= 得 x0=2x－1 y= y0=2y－ 由,点P在椭圆上,得, ∴线段PA中点M的轨迹方程是. (3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1. 当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入, 解得B(,),C(－,－), 则,又点A到直线BC的距离d=, ∴△ABC的面积S△ABC= 于是S△ABC= 由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立. ∴S△ABC的最大值是. 双曲线 1..中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。 解：.设椭圆的方程为，双曲线得方程为，半焦距c＝ 由已知得：a1－a2＝4 ，解得：a1＝7，a2＝3 所以：b12＝36，b22＝4，所以两条曲线的方程分别为： ， 2．已知直线与双曲线交于、点。 （1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值； （3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在， 请求出的值；若不存在，说明理由。 解：（1）由消去，得（1） 依题意即且（2） （2）设，，则 ∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ ∴ 但 由（3）（4），， ∴ 解得且满足（2） （3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直 ∴ ，即 直线的方程为 将代入（3）得 ∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为 但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。 抛物线 例1 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐