第四章傅里叶变换和系统的频域分析讲义.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 4.8 LTI系统的频域分析 1、基本信号ej ?t作用于LTI系统的响应 LTI系统的冲激响应为h(t)，激励是角频率ω的基本信号ej ?t，其响应 h(t)的傅里叶变换，记为H(j ?)，常称为系统的频率响应函数。 y(t) = H(j ?) ej ?t H(j ?)反映了响应y(t)的幅度和相位。 y(t) = h(t)* ej ?t 一、频率响应 2、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 ej ?t H(j ?) ej ?t F(j ?) ej ?t d ? F(j ?)H(j ?) ej ?t d ? 齐次性 可加性 ‖ f(t) ‖ y(t) =F –1[F(j ?)H(j ?) ] Y(j ?) = F(j ?)H(j ?) 4.8 LTI系统的频域分析 频率响应H(j?)——系统零状态响应的傅里叶变换Y(j?)与激励f(t)的傅里叶变换F(j?)之比，即 ?H(j?)? 称为幅频特性（或幅频响应）， ?H(j?)? 是?的偶函数。 θ(?)称为相频特性（或相频响应），θ(?)是?的奇函数。 频域分析法步骤： 傅里叶变换法 4.8 LTI系统的频域分析 例1：某LTI系统的?H(j?)?和θ(?)如图， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。 解：用傅里叶变换 F(j?) = 4πδ(ω) + 4π[δ(ω–5) + δ(ω+5)] + 4π[δ(ω–10) + δ(ω+10)] Y(j?) = F(j?)H(j?) = 4πδ(ω) H(0) + 4π[δ(ω–5) H(j5) + δ(ω+5) H(-j5)] + 4π[δ(ω–10) H(j10) + δ(ω+10) H(-j10) ] H(j?)=?H(j?)? ejθ(?) = 4πδ(ω) + 4π[-j0.5δ(ω–5) + j0.5δ(ω+ 5) ] y(t) = F-1[Y(j?) ]= 2 + 2sin(5t) 4.8 LTI系统的频域分析 4.8 LTI系统的频域分析 3、频率响应H(j?)的求法 1） H(j?) = F [h(t)] 2） H(j?) = Y(j?)/F(j?) 由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。 由电路直接求出。 例2：如图电路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)为输出，求其h(t)。 解：画电路频域模型 h(t)= e-t ε(t) 4.8 LTI系统的频域分析 例3：某系统的微分方程为 y′(t) + 2y(t) = f(t)。求f(t) = e-tε(t)时的响应y(t)。 解：微分方程两边取傅里叶变换 j?Y(j?) + 2Y(j?) = F(j?) f(t) = e-tε(t)←→ Y(j?) = H(j?)F(j?) y(t) = (e-t – e-2t )ε(t) 4.8 LTI系统的频域分析 二、无失真传输 失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中产生了失真。 1.线性系统引起信号失真的原因 1）幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减， 引起幅度失真。 2）相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比， 造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起相位失真。 4.8 LTI系统的频域分析 2.线性系统无失真条件 波形无改变 则称为无失真 实现无失真传输， 应满足的条件 4.8 LTI系统的频域分析 例4.系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是 (A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t) 4.8 LTI系统的频域分析 三、理想低通滤波器的响应 1、理想低通滤波器的频域特性 为截止频率(Cut off frequency) 阻带 通带 阻带 相移特性是过原点直线 4.8 LTI系统的频域分析 2、理想低通滤波器的冲激响应 由图知t0时， ，而输 入 在t=0时加入，这是反因果规律的，所以理想低通滤波器是无法实现的。 0 4.8 LTI系统的频域分析 3、物理可实现系统的条件 1）物理可实现的时域条件： 2）物理可实现的频域条件： 物理可实现的必要条件是： 其中