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矩形判定方法面面观 二曲镇东街小学 陈亚妮 矩形是初中数学的一个重要几何图形，与其判定有关的问题逐渐成为近几年各地中考的一个热点。下面结合例题从以下三方面谈一下矩形的判定思路，供大家平时学习时参考。 从矩形的定义考虑 例1 如图1，已知在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线与点F,且AF=BD,连接BF. （1）试证明：D是BC的中点； （2）如果AB=AC,试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。 分析：(1)欲证明D是BC的中点，即证明BD=DC.由AF=BD知只要证明CD=AF,即△AEF≌△DEC；(2)显然四边形AFBD为平行四边形，只需要再证明一个角为90。即可。 证明：（1）因为AF∥BC,所以∠AFE=∠DCE.因为E是AD的中点，所以AE=DE.又∠AEF=∠DEC,所以△AEF≌△DEC，所以AF=DC.因为AF=BD,所以BD=CD,即D是BC的中点。 （2）四边形AFBD是矩形。 因为AF=BD, AF∥BC,所以四边形AFBD是平行四边形，因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC,∠ADB=90。。所以四边形AFBD是矩形。 点评：证明一个平行四边形是矩形，若题设条件与角度有关，通常考虑用矩形的定义进行证明。 2、 从四个角的数量关系考虑 例2 如图2，已知平行四边形ABCD的四个内角的平分线交于点E，F, G ,H,试证明EG=FH. 分析：欲证明的两条线段EG , FH为四边形EFGH的对角线，只需证明四边形EFGH为矩形即可。 证明： 因为DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的平分线，所以∠ADC=2∠EDC, ∠BCD=2∠DCE.因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠ADC+∠BCD=180,所以∠EDC+∠DCE=90,即∠DEC=90.同理可证明，∠AGB=∠AHD=∠CFB=90,即 ∠AGB=∠GHE=∠GFE=90,所以四边形EFGH为矩形，所以EG=FH . 点评：若题设条件易于证出有三个角是直角，通常依据定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明。 3.从对角线的角度考虑 例3 如图3，已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，试证明：四边形EFGH是矩形。 分析：因为题设条件与四边形的对角线有关，因此考虑用定理“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明。 证明：因为E是OA的中点，所以OE= OA。同理OG=OC.因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OC,所以OE=OG,同理OF=OH,所以四边形EFGH是平行四边形。因为OE=OA,OG=OC,所以EG=OE+OG=AC,同理FH= BD,又AC=BD,所以EG=FH,所以四边形EFGH是矩形。 点评：若题设条件与四边形的对角线有关，通常先证出这个四边形是平行四边形，再证明其对角线相等。 “平行四边形”+“一个角为直角”=“矩形” “四边形”+“三个角为直角”=“矩形” “平行四边形”+“对角线相等”=“矩形”