第六章线性变换讲义.doc

第六章 线性变换 线性变换的理论是19世纪后半期由凯莱和西尔维斯特建立起来的，它们运用线性变换定义了矩阵的乘法，处理了矩阵的相似合同等关系. 变换是集合到自身的映射,线性变换是特殊的变换,是在变量的线性替换、坐标变换等基础上建立起来的数学工具之一,在向量空间中,线性变换与矩阵(方阵)有着紧密的联系,线性变换的化简直接转化为对矩阵的化简,因此,它是方阵化简的基本理论依据.从这一意义上来说,本章内容可看作对矩阵讨论的延续. 本章重点是求特征值与特征向量. *6.1 线性变换及其运算 定义1 设是数域上的一个向量空间，是的一个变换.如果 ，有 1） 2） 那么称是的一个线性变换. 定义1中的条件1),2)可表示为:有 . 采用数学归纳法容易证明，若是的线性变换，，那么 . 例1.设是数域上的向量空间,为一固定的数. 令 , 那么, 是的一个线性变换. 事实上, 例1 中的称为的位似变换.当时,称为零变换,记为.当时,称为的恒等变换(单位变换).记为ι 例2.表示数域上的所有阶矩阵作成的向量空间,为一固定矩阵.令 那么,是的一个线性变换. 事实上, = 故是的一个线性变换. 设表示向量空间中所有线性变换作成的集,,.规定 . 称为与的和,记为.即有. 仍是的线性变换(读者自行验证).同时线性变换的加法满足: , 1) , 2) , 3) , 令,称为的负变换.容易验证对于,有 4) . 再规定的一个“数量乘法”:设.令 . 称为与的数量乘积,记为.即. .事实上,, = =. 对于数乘运算，容易得到如下算律: 5) , 6) , 7) , 8) , 其中，. 根据向量空间的定义，我们得到：对于它的加法和数量乘法作成数域F上的一个向量空间. 现在设是数域F上的一个维向量空间,是的一个基,.由于因而它们可由基线性表出.令 (1) ………………… . (1)也可以表为 , 或 , (2) 其中 . 称为关于基的矩阵.的第列元为在基下的坐标,因而当取定基之后,在这一基下的矩阵是唯一的. 例3 是维向量空间的位似变换:关于的任一个基的矩阵为阶数量矩阵: . 而零变换θ关于的任一个基的矩阵为零矩阵.单位变换ι关于的任一个基的矩阵是. 例4　是维欧氏空间, 是的一个标准正交基.,且满足、.设 其中 由 那么, = = 这表明为正交矩阵. 定义2 是维欧氏空间, .如果有 (3) 那么称是一个正交变换. 由例4知, 正交变换在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.同时,若是标准正交基,那么, 也是标淮正交基. 正交变换不改变向量的长度.事实上,在(3)中取,便有.反过来可以证明,在欧式空间中,若线性变换保持向量长度不变,那么是正交变换. 最后,我们讨论向量空间的向量ξ与(ξ)关于同一基的坐标之间的关系. 定理6.1.1 设是维向量空间, ,是的一个基,且 又设 , , 那么 . (4) 证: 由 , 是线性变换,那么 = =. 又 . 由于同一个向量在一个基下的坐标是唯一的,所以 . 这一结论表明，若知道线性变换关于某个基的矩阵,知道向量关于这个基的坐标,那么由(4)式,便可求得在下的像关于这个基的坐标. 习 题 1.在中,下列哪些变换是线性变换? (1) (2); (3) ; (4) . 2.是向量空间的任一线性变换,证明 (1). (2) 线性相关,则也线性相关. 3.已知的线性变换: 求的自然基下的矩阵. 4.是欧氏空间的线性变换,证明:若对任意的有,则是正交变换. 6.2 特征值与特征向量 我们已经看到,在向量空间中,取定一个基, 的一个线性变换对应着唯一的一个阶矩阵.我们需要进一步考虑的是,一个线性变换在不同基下的矩阵有什么关系;是否可以找到一个适当的基,使线性变换在这个基下的矩阵最简单——为对角形矩阵. 现在设是数域上的维向量空间，与是的两个基.. , , (1) 由基到基