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算法案例 * 算 法 案 例 辗转相除法和更相减损术 1、求两个正整数的最大公约数 （1）求18和30的最大公约数 18和30的最大公约数为6 记: ( 18 , 30 )=6 求公因数的方法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 2、求8251和6105的最大公约数 ( 8251 ,6105 )=? 辗转相除法（欧几里得算法） 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。 (8251 , 6105 )=(6105 , 2146 ) 第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2 + 1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 (8251 , 6105 )=(6105 , 2146 ) =(2146 ,1813) 完整的过程 333=148×2+37 148=37×4+0 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 显然37是148和37的最大 公约数，也就是8251和 6105的最大公约数 例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子可以概括出 计算的规则？ S1：用大数除以小数 S3：重复S1，直到余数为0 S2：除数变成被除数，余数变成除数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2+0 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。 m = n × q ＋ r 用程序框图表示出右边的过程 否 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 S1：用大数除以小数 S3：重复S1，直到余数为0 S2：除数变成被除数，余数变成除数 辗转相除法的程序框图 开始 输入m,n r=m MOD n m=n n=r r=0? 输出m 结束 是 否 INPUT “输入m,n”; m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT “最大公约数是：”；m END 《九章算术》——更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。 例3 用更相减损术求98与63的最大公约数 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。 (12) 3.辗转相除法与更相减损术的比较: （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到. 计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值 算法1： 因为ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906 算法2： ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ 10次的乘法运算,5次的加法运算 4次的乘法运算,5次的加法运算 =5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１ 《数书九章》——秦九韶算法 设 是一个n次的多项式 对该多项式按下面的方式进行改写： 这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么