94空间角与空间距离.doc

§9.4空间角与空间距离 (时间：45分钟　满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．若二面角α－l－β为，直线m⊥β，则α所在平面内直线与直线m所成角的取值范围是(　　) A．[，] B．(0，) C．[，] D．[，] 2．如图所示，正三棱锥A—BCD中，E、F分别为BD、AD的中点，EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成角的大小为(　　) A．30° B．arctan C．60° D．45° 3．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1上的点，则点E到平面ABC1D1的距离d是(　　) A. B. C. D. 4．若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　) A. B．1 C. D. 5．(2010·全国Ⅰ)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．(2010·四川)如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段ABα，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________． 7．矩形ABCD的对角线AC、BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角D—AC—B，连结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为________． 8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为C1C的中点，则异面直线D1A与EO所成角的余弦值为________． 9．△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到△ABC所在平面的距离为_________________________． 三、解答题(共41分) 10．(13分)如图，在平面β内有△ABC，在平面β外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，AC⊥BC且斜线SA、SB与平面β所成的角相等，点S到平面β的距离为4 cm，且AB＝6 cm，求点S到直线AB的距离． 11.(14分)(2010·广东)如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB＝a. (1)证明：EB⊥FD； (2)求点B到平面FED的距离． 12．(14分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于点M. (1)求证：平面ABM⊥平面PCD； (2)求直线PC与平面ABM所成的角； (3)求点O到平面ABM的距离． 1．C2．D3．B　4．D　5．D6. 7. 8. 9．7 10．解　如图，过S作SD⊥平面β于D点，连结DA、DB，则∠SAD、∠SBD分别为SA、SB和平面β所成的角． ∴∠SAD＝∠SBD， ∴Rt△SAD≌Rt△SBD，∴SA＝SB. ∵SA⊥AC，SB⊥BC， ∴∠SAC＝∠SBC＝90°. 又SC＝SC，∴Rt△SAC≌Rt△SBC， ∴AC＝BC. 取AB的中点O，连结SO，则由SA＝SB，可得SO⊥AB， 从而SO的长就是点S到直线AB的距离． ∵SD⊥β，∴DA是SA在平面β上的射影． 又SA⊥AC，根据三垂线定理的逆定理可得DA⊥AC. 同理，DB⊥BC，又AC⊥BC，AC＝BC， ∴四边形ACBD是正方形． 连结OD，∵O是对角线AB的中点， ∴OD＝AB＝3 cm. 在Rt△SOD中，∵SD＝4 cm，OD＝3 cm， ∴SO＝＝5 cm， 即点S到直线AB的距离等于5 cm. 11．(1)证明　∵FC⊥平面BED，BE平面BED，∴EB⊥FC. 又点E为的中点，B为直径AC的中点，∴EB⊥BC. 又∵FC∩BC＝C，∴EB⊥平面FBD. ∵FD平面FBD，∴EB⊥FD. (2)解　方法一　如图，在平面BEC内过C作CH⊥ED，连结FH.则由FC⊥平面BED知，ED⊥平面FCH. ∵Rt△DHC∽Rt△DBE， ∴＝. 在Rt△DBE中，DE＝ ＝＝a， ∴CH＝＝＝a. ∵FB＝a，BC＝a，∴FC＝2a. 在平面FCH内过C作CK⊥FH， 则CK⊥平面FED. ∵FH2＝FC2＋CH2＝4a2＋＝a2， ∴FH＝a. ∴CK＝＝＝a. ∵C是BD的中点， ∴点B到平面FED的距离为 2CK＝a. 方法二　∵EB⊥平面FBD，BF平面FBD，∴EB⊥FB. 在Rt△FBE中，∵FB＝a，EB＝a， ∴EF＝a. 又∵FC⊥平面BED，