结构力学2第10章结构动力学讲义.ppt

工程实际中有很多结构是不宜简化为单自由度体系计算的。例如多层房屋、多跨不等高工业厂房以及烟囱等, 都必须按多自由度体系来处理。 图示等截面烟囱，将其分为八段，从上到下将每两段的质量集中于其中点，将一个无限自由度的体系简化为四个自由度体系。 §10-6 多自由度结构的自由振动 图示简支梁的自重略去不计, 体系有n个振动自由度，y1、y2、…、yi…、yn分别代表这些质点自静平衡位置量起的位移。 1. 振动微分方程的建立（刚度法、柔度法） 刚度法 （1）首先加入附加链杆阻止所有质点的位移,则在各质点的惯性力 作用下，各链杆产生和惯性力大小相等、方向相反的反力； 可按照位移法的步骤来处理 §10-6 多自由度结构的自由振动 （2）其次令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，此时各链杆上所需施加 的力为FRi(i=1,2,…,n)。 （3）不考虑阻尼时，将上述两种情况叠加，各附加链杆上的总反力为零，由此 可列出各质点的动力平衡方程。以质点mi 为例： 即： §10-6 多自由度结构的自由振动 (10-46) 同理，体系中的每一个质点都可以列出相应的动力平衡方程式，有 写成矩阵形式： (10-48) 简写为： §10-6 多自由度结构的自由振动 Y和?分别是位移向量和加速度向量： M和K分别是质量矩阵和刚度矩阵： §10-6 多自由度结构的自由振动 体系中某质点i 产生位移 yi 可看成是系统内各质点运动时的惯性力共同引起的。即 柔度法 考虑每一个质点的位移，可得一组运动微分方程式： FI1，FI2，…，FIn为质点1，2，……n 的惯性力。 体系的柔度系数δij为作用在质点j上的单位力引起质点i 的位移。 §10-6 多自由度结构的自由振动 写成矩阵形式： δ称为体系的柔度矩阵, I—单位矩阵。 或 (10-51) 所以，由刚度法建立的公式（10-48）与公式（10-51）是完全相通的。 因为： §10-6 多自由度结构的自由振动 设公式（10-51）的特解为： 2. 按柔度法求解 (10-51) 即所有质点按同一频率同一相位作同步简谐振动，但各质点的振幅值各不相同 (10-53) (10-54) 有 (f ) 柔度法的振幅方程 §10-6 多自由度结构的自由振动 柔度法的频率方程 振幅向量A 存在非零解的条件为 (10-56) (10-55) 根据频率方程可得到n个自振频率 ，将它们由小到大排列，分别称为第一，第二，…，第n频率，并总称为结构自振的频谱。 注意: 体系自振频率的个数和它的自由度数目相同。 §10-6 多自由度结构的自由振动 此时各质点按同一频率 作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比值 并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。这种多自由度结构按任一自振频率 进行的简谐振动称为主振动，与其相应的特定振动形式称为主振型(振型) 将 代回式(10-53)，得到： (10-59) 将n个自振频率中的任一个 代入式(f )，得到特解为 (10-57) §10-6 多自由度结构的自由振动 n个主振动的线性组合，构成振动微分方程的一般解： (10-60) 和 取决于初始条件。然而自振频率和振型与外因干扰无关，只取决于结构的质量分布和柔度系数，因而反映着结构本身固有的动力特性。 由于此时系数行列式为零，因此n个方程中只有（n-1）个是独立的，因而不能求得 的确定值，但可确定各质点振幅间的相对比值，便确定了振型。 振型向量 规准化振型向量 §10-6 多自由度结构的自由振动 对于两个自由度结构，振幅方程（10-53）为： 令 ，将上式展开得： 频率方程为： (10-61) §10-6 多自由度结构的自由振动 两个自振频率为： (10-62) 两个主振型为： (10-63) (10-64) §10-6 多自由度结构的自由振动 ? 例10-3 图示简支梁在跨度的三分之一处有两个大小相等的集中质 量m，试分析其自由振动。设梁的自重略去不计，EI＝常数。 解: (1) 计算柔度系数δij §10-6 多自由度结构的自由振动 求得 将δij和m值代人上式 (2)求频率： §10-6 多自由度结构的自由振动 将ωi和δij值代上入 式