2016(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法.docVIP

排列组合常用的解题方法 一、相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。 分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人的全排列，种。 二、相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端． 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。 分析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种。 三、定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法． 例3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。 分析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种。 四、标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成． 例4 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。 分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。 五、有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。 例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有 。 分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种。 六、多元问题分类法 元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。 例6 由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 个。 分析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个。 七、交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式。 例 9 从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？ 分析：设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有： 八、定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。 例10 1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有_______ _种。 分析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。 九、多排问题单排法 把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理。 例11 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 。 分析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种。 例12 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？ 分析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法。 十、“至少”问题间接法 关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。 例13 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 种。 分析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种。 分析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有种。 十一、选排问题先取后排法 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。 例14 四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____ ___种 分析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种。 例15 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同