五周一次课_分块矩阵.pptVIP

问题: 假若一个5?6的矩阵中所有3阶子式都等 于零, 那么它的4阶子式中会出现非零的 吗? 答: 绝对不会! 因为每个4阶子式都可以按行展开, 通过一 些3阶子式的组合得到.) ? 第二章 矩阵 §2.4 矩阵的秩 命题 2.1 r(A) = r 当且仅当 A 中存在非零的r阶子式，但A中所有r+1阶子式（如果存在的话）都等于零. 第二章 矩阵 §2.4 矩阵的秩 例 讨论矩阵 的秩。 x 1 1 1 x 1 1 1 x A = 第二章 矩阵 §2.4 矩阵的秩 例 3 2 0 5 0 3 ?2 3 6 ?1 2 0 1 5 ?3 1 6 ?4 ?1 4 的秩=? 注: 对于一个阶数很高且比较复杂的矩阵来说, 按照定义去求它的秩是一件很麻烦的事?. ? 第二章 矩阵 §2.4 矩阵的秩 4 0 ?8 ?2 9 0 3 0 1 2 0 0 0 4 7 0 0 0 0 0 例. 的秩为 . 3 注: 可以证明 命题2.2 阶梯形矩阵的秩等于其非零行的数目. 而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行 变换化为阶梯形矩阵. ? 初等行变换是否改变 矩阵的秩？ 第二章 矩阵 §2.4 矩阵的秩 作业 习题二（B）9,17, 18, 19 上交时间：10月26日（周一） 请学号后两位数字能 被3整除的同学在作业本封面右上角标上A； 被3除余1的同学标上B； 被3除余2的同学标上C。 第二章 矩阵 §2.4 矩阵的秩 几何与代数 主讲: 王小六 第二章 矩阵 第三节 分块矩阵 回 顾 行列式的乘法定理 定理 2.1 假设 A,B都是n阶方阵， 则 |AB| = |A| · |B| 问题：设 . 则 |A100 |=？ A = 2 3 5 1. 定义2.6: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E, 则称A可逆(invertible), 并称B为A的 逆矩阵(inverse matrix). A的逆矩阵记为A?1. 2. 逆矩阵的唯一性 3. 设A是n阶方阵。则 (1)A可逆的充分必要条件是|A| ? 0. (2)当|A| ? 0且n ≥ 2时, 有 A?1 = |A| 1 A*. 可逆矩阵 定义2.7. 设A = [aij]n?n为方阵(n ≥ 2), 元素aij 的代数余子式为Aij, 则称如下矩阵 A* = A11 A21 … An1 A12 A22 … An2 … … … … A1n A2n … Ann 为方阵A的伴随矩阵. 可逆矩阵的等价定义：假设A是n阶方阵。若存在n阶方阵B, 使得 AB=E (或者BA=E), 则称A是可逆的， B是A的逆矩阵。 回顾结束 第二章 矩阵 ? §2.2 逆矩阵 二. 逆矩阵的运算性质 设A, B为同阶可逆方阵, 数k ? 0. 则 (1) (A?1)?1 = A； (2) (AT)?1 = (A?1)T. (3) (kA)?1 = k?1A?1； (4) AB可逆?A和B可逆;当AB可逆时， (AB)?1 = B?1A?1. 例. 设A与E?A都可逆, G = (E?A)?1?E, 求证G也 可逆, 并求G?1. 证明: G = (E?A)?1? (E?A)?1(E?A) = (E?A)?1(E? (E?A)) = (E?A)?1A G?1 = A?1(E?A) = A?1 ?E. 第二章 矩阵 ? §2.2逆矩阵 可以表示为Ax = b. 则线性方程组 x1 x2 … xn 记x = , b1 b2 … bm b = , A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn , 三. 应用 下面讨论A为n阶方阵的情形. 第二章 矩阵 ? §2.2 逆矩阵 Cram