第四单元函数的极限与连续性.doc

第 四 單 元 函 數 的 極 限 與 連 續 0401 利用極限的定義，証明下列各極限存在。 (a) 。 (Ans.64。) (b) 。 (Ans.。) (c) 。 (Ans.4。) (d) 。 (Ans.2。) (e) 。 (Ans.0。) (f) 。 (Ans.。) (g) 。 (Ans.2。) (h) 。 (Ans.1。) 0402 利用極限的定義証明 (a) 。 (b) 。 0403 試用或語言証明若，A可為實數或， 則。 0404 求下列各極限的極限值。 (a) 。 (Ans.。) (b) 。 (Ans.1。) (c) ，其中m與n為自然數。 (Ans.。) (d) ，其中m與n為自然數。 (Ans.。) (e) 。 (Ans.。) (f) 。 (Ans.0) (g) 。 (Ans.。) (h) 。 (Ans.0。) (i) ，其中 (Ans.0。) 0405 設與是多項式且，下式有什麼可能的值？ 。 (Ans.設，， ，。 則當與時，， 當與時，， 當時，， 當時，。) 0406 証明。 0407 求下列各極限的極限值。 (a) 。 (Ans.5。) (b) 。 (Ans.。) (c) 。 (Ans.2。) (d) 。 (Ans.。) 0408 已知。求a與b。 (Ans.，。) 0409 設R，R，R，且， 且a是的一聚點。証明若存在a的一去心鄰域使得 ，且， 則。 0410 求。 (Ans.0。) 0411 設R是不減函數。証明若f有上界，則存在且等於 。 0412 設函數R定義為 (a) 求，，及。 (Ans. ，，，。) (b) 問是否存在？ (Ans.存在。) (c) 問是否存在？ (Ans.不存在。) 0413 証明下列二敘述是對等的。 (1) ； (2) 。 0414 設函數RR 定義為。求。 (Ans.0。) 0415 設，。証明存在且 求其極限值。 (Ans. 。) 0416 証明若R為增函數且，則及必均存 在且分別等於及。 0417 設函數f是不減函數且在區間上是無界的。証明。 0418 設，試問下列何者成立： (a)或。 (b) 且。 (c) 且。 (d)且。 (e) 以上皆非。 (Ans.(d)。) 0419 設函數RR定義為而 試問f的斷點是那些？何故？ (Ans.f在與是不連續的。) 0420 設函數R定義為 (a) 証明f僅於是連續的。 (b) 定義函數g為，問於何處是連續的。 (Ans. g僅於是連續的。) 0421 設實值函數f的定義域為R。証明f在是連續的當且僅當 對中的數列，收斂到，有。 0422 設函數RR定義為 証明f在R中每一點x均不連續的。 0423 設RR定義為 証明f僅在是連續的。 0424 設RR定義為 証明f在R-Q上是連續的而在Q上是不連續的。 0425 設f與g為二函數且。 令，。 証明若f與g為連續函數，則h，k亦為連續。 0426 討論下列各函數的連續性。 (a) (Ans.f是連續函數。) (b) (Ans.f是連續函數。) (c) (Ans.f僅在與是連續的。) (d) (Ans.f是連續函數。) 0427 設函數與。問與何者是連續的？