第4章连续系统的频域分析∫∫.PDF

88 信号与系统分析基础 连续时间信号可以表示为阶跃函数或冲激函数等基本信号的代数和，因而，在时域中我们可以根据 叠加原理来计算连续时间信号作用于LTI 系统产生的零状态响应。在第2 章中还推出了叠加结果的一种 计算方法，即卷积。将外加信号与LTI 系统的单位冲激响应相卷积，即可求得LTI 系统的零状态响应。 本章将要介绍信号的另外一种分解形式，即将连续时间信号分解为一系列的正交函数的线性组 合。这些正交函数将是连续信号分解中的新的基本信号。我们熟悉的正弦函数sinωt、 cosωt 都是正交 函数。通过傅里叶变换这一数学工具就可将连续信号表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数 之和（对周期信号）或积分（对非周期信号）。有了信号的这种分解，根据线性叠加原理亦可求得LTI 系统的零状态响应，这就是所谓的LTI 系统的频域分析。 4.1 信号的正交分解 4.1.1 正交函数集 在数学中我们学过矢量的分解，其实信号的分解和矢量的分解十分相似。下面我们就从矢量的分 解说起，类比说明连续时间信号的分解。 设矢量e 与e 是二维直角坐标系的两个单位矢量：e 的模为1，方向和x 轴正方向一致；e 的 x y x y 模也为 1，方向指向y 轴正方向。由于ex 、ey 夹角为90°，满足ex ?ey cos90 °0 ，我们称这两个 矢量正交。两个矢量点积为0，可作为两矢量正交的定义式，称｛ e ， x e ｝为二维直角坐标系的正交矢量集。坐标系中任一矢量都可以表 y 示成集合中基本元素e 、e 的线性组合。例如，图4.1.1 中的矢量 x y A ，如果它在x 轴上投影长度为A ，在y 轴上投影长度为A ，那么 x y 矢量A 就可以表示为 图4.1.1 二维直角坐标系中的矢量 A A e +A e x x y y 同样，如果一个三维正交空间的正交元素集为｛ex , ey , ez ｝，那么在这个空间中的任一矢量B 可 以表示为 B B e +B e +B e