第5章Petri网模型.doc

Petri网及其维修建模应用研究 摘要：Petri网描述异步并发的能力和形象直观的图形表示，使之成为系统维修过程模型描述的有力工具。本文在对Petri网的基本概念、模型描述方法作简要介绍基础上，分别就不可修系统、可修系统、维修资源共享、维修优先级以及维修效费等系统维修问题，进行了Petri网模型描述。 关键词：Petri网，维修，建模 Petri网是波恩大学数学家C.A.Petri教授于1962年在其博士论文中提出的，其目的是以此作为研究计算机系统中各组成部分之间异步通信的数学模型。自70年代后，Petri网理论得到迅速发展，至今已成为具有严密数学基础、多抽象层次、多用途的通用网论，逐渐成为各相关学科的通用语言，并在自动控制和计算机科学中得到广泛应用，如用于计算机网络性能分析的并行程序的设计、分布式计算机系统的分析与控制、软件工程、知识推理、人工神经元网络等领域。近几年，Petri网理论被引入可靠性领域，并迅速在系统可靠性建模与分析方面得到重要应用。由于Petri网作为一种图形化和数学化的建模工具，能提供一个集成的建模、分析和控制环境，从而使之成为大型复杂可修系统可靠性建模与分析的有力工具。 1、Petri网的基本概念 Petri网的基本结构元素包括：位置（place）、变迁（transition，或称转移）和弧（arc）。任何系统都是由两类元素组成：表示状态的元素和表示状态变化的元素。在Petri网中前者用位置表示，后者用变迁表示。进一步说，位置用于描述系统可能的局部状态，如计算机通信系统的队列、资源，可靠性分析中设备的失效状态等；变迁用于描述改变系统状态的事件，如信息的处理、设备的故障、修复过程等。弧用以描述局部状态（位置）和事件（变迁）之间的关系。 在Petri网模型中，标记（token）包含在位置中，用来描述PN的状态（通常也称PN的标识，marking），即用他们在位置中的动态变化表示系统的不同状态。如果用一个位置描述一个“条件”，则它可以包含一个标记或者不包含标记，当位置中包含一个标记时，条件为真；否则为假。如果用一个位置定义一个状况，则用这个位置中标记的个数来规定这个状况。在系统可靠性分析中，token 既可以反映定性要素，如过程的开始/结束，设备的正常/失效，也可表征定量要素，如设备个数、维修资源（备件、维修队、维修设备等）数量、时间长短、人数等，这也正是Petri网对象描述灵活性的重要来源。 Petri网（或简称网）的定义： 一个三元组 N = (P，T；F)是一个(Petri)网，iff(当且仅当)： （网非空）； （二元性）； ； （没有孤立元素）。 其中，；。在网中，P的元素是位置，T的元素是变迁，F的元素是弧。集合是网元素的集合。 通常需注意网和系统的概念之间的区别。网的概念仅为位置、变迁和弧的集合，而系统还含有相关的初始标识。本章在不特殊说明情况下，所说的Petri网均指Petri网系统。位置/变迁系统是一类最基本的Petri网系统。 位置/变迁（place/transition）系统： 一个六元组是一个P/T系统，iff： （P,T;F）是一个网，P的元素是位置，T的元素是变迁； 是位置容量函数； 是弧权函数（即弧权函数为正整数）； 是初始标识（marking），且满足：。 在P/T系统的图形表示中，对于弧，当W(f) 1时，将W(f)标注在弧上。当一个位置的容量有限时，通常将K(p)写在位置p的圆圈旁。有界P/T系统的K函数仅为，K(p) = 1时，通常省略K(p)的标注。标记仍由在位置中的黑点来表示。标识是标记在位置中的一种分布。 一个P/T系统可由其相应的可达树或可达图来表示。其中，可达图的定义为： 令是一个有限的P/T系统，的可达图T()是由标识为结点的图，其弧线由T元素标注。 2、Petri网模型描述方法 PN模型用双向图表示，其中： （1）位置用圆圈表示； （2）变迁用方框（或竖条）表示； （3）标记用位置中的黑点表示。 图2为一个独立可修单元的简单PN模型，图中包含两个位置Pup和Pdown，分别表示该单元的正常工作和失效状态；两个变迁tdown和trepair分别表示该单元的故障及修复过程，位置和变迁由4条弧相连。由图可见Pdown中包含着一个标记，因此单元失效条件为真。 Petri网模型的动态行为由它的实施规则所规定、控制，其实施规则为：如果一个变迁的所有输入位置（这些位置联接到这个变迁，弧的方向从位置到变迁）中都至少包含一个标记，那么这个变迁可以实施，即相联系的事件可能发生。在这种情况下，这个变迁称为是可实施的。一个可实施变迁的实施导致从它所有输入位置中都清除一个标记，并同时在它的每一个输出位置（这些位置连接到这个变迁，弧的方向从变迁到位置）中都生成一个标记。